Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

I-bob bo’yicha xulosa.
Bitiruv malakaviy ishining birinchi bobida asosan BMIni yozishda kerak bo’ladigan asosiy boshlang’ich tushunchalar berilgan. Bu bobda singulyar integral tengsizliklar qaralgan. Birinchi bob singulyar integral tengsizliklar deb nomlanib, bunda integral tengsizliklar haqida boshlang’ich ma’lumotlar, yadrosi integrallanmaydigan Vol’terra tipidagi integral tengsizlik va integrallash chegaralaridan biri cheksiz bo’lgan integral tengsizliklar haqida boshlang’ich ma’lumotlar keltirilgan
Bunda chegaralaridan biri cheksiz bo’lgan karrali integrallarni saqlovchi integral tengsizliklar, chegaralaridan biri va yadrolari integrallanmaydigan karrali integrallarni saqlovchi integral tengsizlik hamda Abel yadroli Vol’terra tipidagi integral tengsizlik isbotlangan. Bunda
1.
2.

3. 
   
   

singulyar integral tengsizliklar isbotlangan.
II-BOB. SINGULYAR INTEGRAL TENGSIZLIKLARNING INTEGRAL VA INTEGRO-DIFFERENSIAL TENGLAMALAR YECHIMLARINI TADQIQ QILISHGA TADBIQLARI.
Ma’lumki Gronuoll tomonidan 1919 yilda

ko’rinishidagi integral tengsizlik qaralib, uning yechimi
ko’rinishida topilgan va u Koshi masalasi yechimining yagonaligini isbotlashga tadbiq etilgan. Bu g’oya ko’plab chet el va O’zbekistonlik olimlarning diqqatini o’ziga tortdi va bu tengsizlik turli yo’nalishlarda umumlashtirilib mustaqil nazariyani vujudga kelishiga sabab bo’ldi. Integral tengsizliklar nazariyasi hozirgi kunda keng rivojlandi va ularga oid ma’lumotlar adabiyotlarda jamlangan.
2.1 Integro-differensial tenglama uchun Koshining limitik
masalasi yechimini tadqiq qilish.
Biz bu yerda yarim o’qdagi chiziqli bo’lmagan integro-differensial tenglama yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremani isbotlaymiz.
Ushbu

yarim o’qda chiziqli bo’lmagan integro-differensial tenglamani qaraymiz. Bu tenglamaning

boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini toppish bilan shug’illanamiz. birgalikda Koshining limitik masalasi deb aytiladi.
Biz avvalo masalaning yechimini topishni unga ekvivalent bo’lgan integral tenglamaning yechimini toppish masalasiga keltiramiz. Haqiqatdan tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsa, u holda

ayniyatga ega bo’lamiz. Bu tenglikning har ikkala tomonini dan gacha integrallab, ni hisobga olsak ushbu integral tenglamaga kelamiz:

Bu tenglamani ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida yechamiz. Yechimga ketma-ket yaqinlashishlarni quyidagicha tuzamiz:

Quyida shu ketma-ketlikning biror funksiyaga tekis yaqinlashishini, funksiyaning uzluksizligini va uning tenglamani qanoatlantirishini ko’rsatamiz. tengliklardagi funksiyaning tenglamaning taqribiy yechimi ham bo’ladi. Uning aniq yechim bilan farqini ham baholash mumkinligini ko’ramiz. So’ngra ma’lum shartlar bajarilganda yechimning yagonaligini ham ko’rsatamiz.