Sirt intеgrallari va uning tatbiqlari I tur sirt intеgrali va uning tatbiqlari

2-misol. I tur sirt integralini hisoblang: , bu yerda S - paraboloid sirtining tekislik bilan kesilgan qismi, (3-shakl).
►Avval S sirtning oshkor tenglamasini tuzib olamiz. Bu yerda x ni y va z oʻzgaruvchilar orqali ifodalash qulay
.
Shuning uchun sirt integralini hisoblashda (28.3) formuladan foydalanamiz. S sirtning Oyz tekislikdagi proyeksiyasini topamiz, buning uchun quyidagi sistemani yechamiz;

Paraboloid tekislik bilan aylanada kesishadi. Demak, S paraboloid sirtining Oyz tekislikdagi proyeksiyasi doira sohasi boʻladi. va ekanini va (28.3) formulani e’tiborga olgan holda,


ikki karrali integralga ega boʻlamiz. Bu integralda
va
qutb koordinatalar sistemasiga oʻtish qulay. Qutb koordinatalar sistemasida soha tengsizliklar bilan aniqlanadi(4-shakl). Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:

.◄

3-shakl 4-shakl

Agar integral ostidagi funksiya boʻlsa, I tur sirt integrali

(28.4)
sirt yuzini aniqlaydi(oʻng tarafdagi integral ikki karrali integral yordamida sirt yuzini hisoblash).
Agar integral ostidagi funksiya S moddiy sirt boʻyicha massa taqsimlanishining har bir nuqtasidagi zichligini bildirsa, u holda I tur sirt integrali S sirtning massasini aniqlaydi .
(28.5)
Moddiy sirtning koordinata tekisliklariga nisbatan statik momentlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

Moddiy sirtning ogʻirlik markazi quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

Moddiy sirtning Ox, Oy, Oz koordinata oʻqlariga va koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari



3-misol. 2z + x² = y² aylanma paraboloid sirtining x² + y ²= R² silindr bilan kesib olingan qismining yuzini toping.
► Aylanma paraboloidning tenglamasini koʻrinishda ifodalaymiz. Xususiy hosilalarini topamiz: . U holda, sirt elementi:
.
Bundan, (28.4) formulaga koʻra,
.
Bu yerda ikki karrali integralning integrallash sohasi D paraboloid va silindr kesishgan soha boʻlib, u tenglama bilan chegaralangan sohadir. Ya’ni, radiusi boʻlgan doira sohasi(5-shakl).
Bu integralni qutb koordinatalar sistemasiga oʻtib hisoblaymiz.

◄

5-shakl.
4-misol. Zichligi boʻlgan konus sirtining qismini Oz oʻqiga nisbatan inersiya momentini toping(6-shakl).
► Konus sirtida quyidagi tengliklar oʻrinli:
.
Endi S sirtning Oz oʻqiga nisbatan inersiya momentini topish (28.8) formulasidan foydalanamiz,.

Bu yerda D - doira sohasi: . Integralni qutb koordinatalar sistemasiga oʻtamiz.
.

◄

6-shakl.