Sirtdagi sohalar yuzalarini hisoblash
Download 0.66 Mb. Pdf ko'rish
|
attachment(94)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2.4 §. Sirtning birinchi kvadratik formasi
- 2.5 §. SIRTDAGI SOHA YUZI
- Isbot.
- 2.6 §. SOHA YUZIGA DOIR MISOLLAR
- Misol 3.
- Echish.
|
Haqiqatan ham. = 2bo’lgani uchun biror ( , ) qiymatda ≠ 0 bo’ladi, shuning uchun oshkormas funksiyaning mavjudlik haqidagi teoremasiga ko’ra, (
) nuqta atrofida = ( ; ), = ( ; )
35
funksiyalar bir qiymatli ravishda teskarilanadi:
bularni ga qo’ysak
kelib chiqadi. Bu regulyar sirtni aniqlaydi. sohadagi
va
parametrlarning har bir
qiymatiga sirtning biror nuqtasi mos keladi, bu sonlar sirtdagi nuqtaning egri chiziqli koordinatalari deyiladi. Agar tenglamada desak bitta
parametrli chiziqlar oilasini tashkil qiladi, xuddi
shunday desak yana bitta ga mos chiziqlar oilasinitashkil qiladi.Chiziqlarning bu ikki oilasiga sirtning koordinatchiziqlari deyiladi. Ularning birinchisini bundan keyin chiziqlar ( const), ikkinchisini esa chiziqlar ( const) deb ataymiz. Koordinat chiziqlarning ikkala oilasi koordinat to’ri deyiladi. Regulyar sirtning har bir nuqtasidan to’rga tegishli ikki chiziq o’tadi.
36
2.4 §. Sirtning birinchi kvadratik formasi Bizga
( , ) ∈ sohada
⃗ = ⃗( , ) tenglama bilan silliq sirt berilgan bo’lib,
∦ yani
[ × ] ≠ 0 shart bajarilsin. Sirtning birinchi kvadratik formasi deb ushbu = ⃗ (2.8) ifodaga aytiladi. Bizga ma’lumki, ⃗( , ) vektorning differentsiali quyidagicha bo’ladi, ⃗ = ⃗
+ ⃗ . Endi uning skalyar kvadratinitopamiz: ⃗ = ( ⃗ + ⃗
) = ⃗ + 2( ⃗ ∙ ⃗ ) + ⃗
sirtning har bir nuqtasida va differentsiallarning kvadratik formasidir.
Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangandir. Haqiqatdan ham. ⃗ > 0 va birinchikvadratik formaning determinanti ham musbat chunki, ⃗ ( ⃗ ∙ ⃗ ) ( ⃗ ∙ ⃗ ) ⃗ = ⃗ ⃗ − ( ⃗ ∙ ⃗ ) = [ ⃗ × ⃗ ] > 0. Bundan esa ning ya’ni (2.8) kvadratik formaning musbatligi kelib chiqadi. 37
Odatda, birinchi kvadratik forma koeffitsientlari uchun quyidagicha belgilashlar ishlatiladi: = ⃗ = ( ⃗ ∙ ⃗ ) = ( ⃗ ∙ ⃗ ) (2.9) = ⃗ = ( ⃗ ∙ ⃗ ) Bu belgilashlardan foydalanib (2.8) ni quyidagicha yozish mumkin, = + 2
+ ,
− > 0.
Endi (2.9) koeffitsentlarning koordinatalarga nisbatan ifodalarini keltiramiz. Agar
⃗( , ) = { ( , ), ( , ), ( , )}, ( , ) ∈ , bo’lsa, u holda ⃗ = { ,
} va
⃗ = { , , } bo’lgani uchun yuqoridagi koeffitsientlarushbu = ⃗ =
+ +
= ( ⃗ ∙ ⃗ ) = + + = ⃗ =
+ + , ko’rinishda bo’ladi.
Quyida biz har xil ko’rinishdagi tenglamalar bilan berilgan sirtlarning birinchi kvadratik formasini va uning , , koeffitsientlarini qanday xisoblash masalalarini ko’rib chiqamiz.
Bizga biror sirt differentsiallanuvchi = ( , ) funksiya grafigi shaklida berilgan bo'lsin. O'zgaruvchi nuqtaning radius vektorini quyidagicha yozamiz: ⃗ = ⃗( , ) = { , , ( , )}. 38
U holda ⃗ = ⃗ = {1; 0; }, ⃗ = ⃗ = 0; 1;
ekanligidan = ⃗ = 1 + , = ( ⃗ ∙ ⃗ ) = ∙ , = ⃗ = 1 + kelib chiqadi va birinchi kavdratik forma ushbu = (1 + )
∙ + 1 +
(2.10) shaklga ega bo'ladi. 2. Endi aylanma sirtlar, tekisligida joylashgan chiziqning o'qi
atrofida aylanishdan hosil bo'lgan sirtni qaraylik. Faraz qilaylik chiziq = ( ) > 0; = ( ) parametrik tenglama bilan berilgan bo'lsin. ( ( ) > 0 shart chiziqning aylanish o'qi atrofida aylanishidan hosil bo'lgan sirtni qaraylik). Sirtdagi biror nuqtaning holatini aniqlash uchun parametrning qiymatini, ya'ni berilgan chiziqdagi
nuqta va chiziqning o'qi atrofida aylanish burchagi ni bilish yetarlidir. nuqtaning , , koordinatalari va orqali quyidagicha ifodalanadi: = ( )
, = ( ) , = ( ). Endi aylanma sirtning birinchi kvadratik formasini topamiz. Buning uchun quyidagilarni topamiz; ⃗ = { ,
} = { ( ) ; ( ) ; ( )}
⃗ = { , , } = {− ( ) ; ( ) ; 0}
Endi bulardan foydalanib birinchi kvadratik forma koeffitsientlarini hisoblaymiz: 39
= + , = 0, = . Shunday qilib, aylanma sirtning birinchi kvadratik formasi quyidagicha bo’ladi. = +
. (2.11) 3. Nihoyat, endi sirt ( , , ) = 0 oshkormas ko’rinishdagi tenglama bilan berilgan bo’lsin. Uning biorinchi kvadratik formasini xisoblash masalasini ko’rib chiqamiz. Bizga ma’lumki, sirtda Riman metrikasi (birinchi kvadratik formasi) – bu oddiy + +
( , , ) = 0 to’la differensialini topsak, + + = 0 bo’ladi. Agar qarayotgan sirtning barcha nuqtalarida ≠ 0 bo’lsa, u holda yuqoridagi tenglikdan quyidagi = −
−
tenglikga ega bo’lamiz. Shunday qilib, ( , , ) = 0sirtda = , = desak, + + − −
hosil bo’ladi. Endi uni soddalashtirsak 1 + + 2
+ 1 +
tenglikga ega bo’lamiz. Shunday qilib, birinchi kvadratik forma koeffitsientlari quyidagicha ekan, 40
= 1 + , =
, = 1 + . (2.12)
Sirt ustidagi yopiq chiziq bilan chegaralangan soha berilgan bo’lsin. sohadagi nuqtalardan soni chekli koordinat chiziqlarni o’tkazamiz. Bu soha egri chiziqli ikki xil to’rtburchakka ajraladi: 1)
To’liq to’rtburchaklar (bunday to’rtburchaklarning ikki tomoni chiziqlar bilan va qolgan ikki tomoni chiziqlar bilan chegaralangan). 2.1 – chizmada bunday to’rtburchaklardan biri katta qilib ko’rsatilgan; 2)
To’liqsiz to’rtburchaklar. Bu ko’rinishdagi to’rtburchaklarning har biri sirt ustidagi sohani chegaralaydigan chiziqni ham qisman qoplaydi. To’rtburchaklarning har biri kichrayib borganda, to’liqsiz to’rtburchaklarning sohani chegaralaydigan chiziqqa yaqinlashadi va bu to’rtburchaklarning hammasini eni nolga intiladigan yopiq tasma ichiga joylashtirish mumkin bo’ladi. Shu sababli ikkinchi ko’rinishdagi to’rtburchaklarni e’tiborsiz qoldiramiz. 2.2 – chizmadagi egri chiziqli to’rtburchaklarni tekshiraylik. Bunda va tomonlari chiziqlarga qarashli. va
tomonlar esa chiziqlarga qarashlidir. To’rtburchak uchlarining koordinatalari: ( ; ),
( + ∆ , ), ( , + ∆ ), ( + ∆ , + ∆ . Shuning v 2.1-chizma u Q P M N
∆ v 2.2-chizma P M
Q rv∆v 41
uchun ⃗ = ( , ), ⃗ = ( + ∆ , ), ⃗ = ( + ∆ , + ∆ ), ⃗ = ( , + ∆ ) bo’lib, ⃗ = ( + ∆ , ) − ( , ).
Chekli orttirmalar teoremasiga asosan, ⃗ = ∆ ∙ ( + ∆ , ). Agar birinchi tartiblidan yuqori cheksiz kichiklarni e’tiborga olmasak, ⃗ ≅
∙ ∆ bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash ⃗ ≅
∙ ∆ , ⃗ ≅
⃗ ≅ | | ∙ ∆
va ⃗ ≅
⃗ ≅ | | ∙ ∆ bo’lgani uchun egri
chiziqli to’rtburchakning yuzi o’rniga tomonlari ∙ ∆ va
∙ ∆ vektorlardan iborat to’g’ri chiziqli parallelogrammning yuzini olamiz, ya’ni egri chiziqli to’rtburchakning yuzi deb ∙ ∆ va
∙ ∆ vektorlarga yasalgan parallelogrammning yuzini qabul qilamiz. Bu parallelogram sirtning nuqtasidagi urinma tekislikda bo’lib, uning yuzi ushbuga teng; ∆ = |[
× ]|∆ ∆
yoki ∆ =
( ∙ )( ∙ ) − ( ∙ )( ∙ )∆ ∆ = − ∆ ∆ . Demak, ∆ yuz sirtning birinchi kvadratik formasining , , koeffitsiyentlari orqali ifodalanadi.
√ − qiymat|[
× ]| qiymatga teng bo’lgani uchun, u hamma vaqt noldan kattadir (oddiy nuqtada u noldan farqli). 2.3-chizma Egri chiziqli
Parallelogram ik M nuqtada S sirtga urinma 2
3
1
0
u r u
) , ( k i v u х
z y x
42
Shunday qilib, har bir egri chiziqli to’rtburchakning yuzi o’rniga to’g’ri chiziqli parallelogrammning yuzini olamiz. Sohaga tegishli bo’lgan hamma parallelogrammlar yuzlarining yig’indisini tuzaylik: ∆ = −
Har bir ∆ va ∆ qiymatlarni nolga intiltiramiz. Bu holda egri chiziqli to’rtburchaklarning soni cheksizlikka intilib, har birining yuzi nolga intiladi.(2.13) dan limit olamiz. Sirt ustidagi D sohaning yuzi deb (2.13) yig’indining limitiga aytamiz: = ∆ =
− ∆ ∆ .
Karrali integrallar nazariyasiga asosan, ∑ √ −
sirtdagi egri chiziqli koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’lmasdan, faqat sohaning shakliga bog’liq bo’lib, √ −
= − . (2.14) Natija 2.7.Sirt ustidagi egri chiziqli koordinatalar sistemasiga nisbatan , va qiymatlarini , orqali aniqlash kifoyadir. , va qiymatlarni aniqlash uchun, sirtning shaklini bilish shart emas. Endi sirtning har xil ko’rinishdagi tenglamalari bilan berilganda uning yuzini hisoblash usullarini keltiramiz:
= ( , ), ( , ) ∈ grafigi bo’lgan holda berilgan bo’lsa, bu holda sirt yuzi quyidagicha hisoblanadi; = 1 +
+ .
43
Isbot.Sirt = ( , ) ko’rinishda berilgani uchun unda quyidagiga almashtirish olamiz yani ( , ) koordinatalar sistemasiga o’tamiz; = , = , ⃗( , ) = ( , , ( , )) bundan esa, ⃗ = ⃗ = {1, 0, } ⃗ = ⃗ = {0, 1, } bo’ladi. Bulardan foydalanib birinchi kvadratik formaning koeffitsientlarini topamiz, = ⃗
= 1 + , = ⃗ = 1 + , = ⃗ ∙ ⃗ =
Shuning uchun (2.14) formulaga ko’ra = 1 + + , bo’ladi. Teorema 2.9. Agar sirt ( , , ) = 0 ko’rinishdagi tenglama bilan berilgan bo’lib, sirtdagi soha bir qiymatli ravishda ( , ) tekislikning sohasiga proeksiyalangan bo’lsa, uholda = | | | |
formula o’rinli bo’ladi. Bu yerda = { ; ; }va
=
44
bo’lib, u sohadagi ( , , ) nuqtalarda noldan farqli ya’ni ≠ 0.
= 1 +
, = , = 1 +
bo’lgani uchun, − = 1 + 1 + −
bo’ladi. Endi uni soddalashtirib quyidagi tenglikni hosil qilamiz, − = 1 + + = + + = + + | | = { ;
; }bo’lgani uchun oxirgi tenglikni − = | | | | yozish mumkin. Demak, sirt yuzi uchun = |
| |
tenglik o’rinli ekan.
45
2.6 §. SOHA YUZIGA DOIR MISOLLAR
Endi biz sirtdagi chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzalarini sirtning birinchi kvadratik formasi yordamida xisoblaymiz.
= , =
, =
to’g’ri gelikoidada = 0, = , = 0, = 1 chiziqlar bilan chegaralangan to’rtburchak yuzini hisoblang
: { =
, = , =
} sirtning birinchi kvadratik formasini topamiz. Buning uchun bizga birinchi tartibli xususiy hosillar kerak bo’ladi, shuning uchun = cos
= sin = 0
= − sin = cos =
bo’ladi. Endi bulardan foydalanib brinchi kvadratik formaning koeffitsientlarini hisoblaymiz ya’ni, = + + = + = 1 = + + = − sin cos + sin cos + 0 = 0 = + + = + + = + . Demak, berilgan sirtning birinchi kvadratik formasi 46
= = + ( + )
ko’rinishda bo’lar ekan. Endi bulardan foydalanib, − ni hisoblaymiz − = + . Masala shartiga ko’ra integrallash chegarasi = {0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 1} bo’ladi. Endi oldingi paragrafdagi (2.14) formulaga ko’ra = −
+ = + = = 2 + + 2 ln + + 0 = = √2 2 + 2 ln √2 + 1 − =
√2 2 + 2 √2 + 1 . Shunday qilib, berilgan chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzi = √2 +
√2 + 1 2
bo’lar ekan.
= + (
+ )
bo’lgan sirtda = ±
, = 1 egri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak yuzini toping. Echish.Sirt o’zining kvadratik formasi bilan berilgani uchun uning koeffitsientlari = 1, = 0va =
+ bo’lib, 47
− = + bo’ladi. Soha yuzidagi ikki karrali integralning integrallash sohasi = {0 ≤ ≤
≤ ≤ } bo’lgani uchun; = − = + = + bo’ladi.Bu integralni xisoblash ancha murakkab bo’lgani uchun unda integrallash chegarasini o’zgartiramiz. U holda = + = + | | hosil bo’ladi. Endi bu integralni karrali integralga keltiramiz: = +
= + | | = = 1 − 1 | |
+ = 2
1 − 1 + = = 2
1 − 1 + = 2 + − 2 + . Endi hosil bo’lgan bu integrallarni aloxida hisoblaymiz. Avvalo birinchi integralni hisoblaylik + =
+ + 2 ln + + 0 = = √2 2 + 2 √2 + 1 . 48
Endi ikkinchi integralni hisoblaymiz; + = 1 2 ( + ) (
+ ) =
1 3 ( + ) 0 = = 2√2 3 − 1 3
Bu hosil bo’lganlarni yuqoridagi ga qo’yib, yuzani xisoblaymiz; = 2 √2 2 + 1 2 √2 + 1 − 2 2√2 3 − 1 3 = 2 3 − √2 3 + √2 + 1 . Misol 3. Ushbu = cos cos , = cos sin , = sin sfera va uning ekvatori bilan chegaralangan sohaning yuzini aniqlang.
nuqtasi uchun , va
qiymatlarni aniqlaymiz, buning uchun avvalo xususiy xosilalarni xisoblaymiz: = − sin cos = − sin sin = − cos
, = − cos sin = cos cos
= 0 . Endi , va koeffitsientlarni xisoblaymiz: = ( + ) +
= ( + ) =
= cos sin cos sin − cos sin cos sin + 0 = 0 = .
hisoblaymiz. Birinchi integralning chegarasi 0 dan 2 gacha va ikkinchi integralning chegarasi esa 0 dan 2 gacha bo’lgani uchun: 49
= − = ∙ − 0
= = = 2 2 0 = 2 . Buning to’g’riligi bizga elementar geometriya kursidan ham ma’lum.
Sirt ustidagi sohaning yuzi tushunchalari sofgeometrik xarakterga ega bo’lgani uchun ular sirt ustida egri chiziqli koordinatalarni tanlashga, chiziqqa qanday ichki siniq chizilishiga yoki sohani parallelogramlarga bo’lish usuliga bog’liq emas.
50
2.7 §. SOHA YUZI MAPLE DASTURI YORDAMIDA Misol 1.Ushbu = , = , =
to’g’ri gelikoidada = 0, = , = 0, = 1 chiziqlar bilan chegaralangan to’rtburchak yuzini hisoblang.
>
>
> x:=u*cos(v);
> y:=u*sin(v);
> z:=a*v;
> E:=simplify((diff(x,u))^2+(diff(y,u))^2+diff(z,u)^2,trig);
> Download 0.66 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|