Sirtlarning tekislik va to‘G‘ri chiziq bilan kesilishi. Sirtlarning yoyilmasi reja


Download 103.27 Kb.
Pdf просмотр
Sana25.12.2017
Hajmi103.27 Kb.

4.18. SIRTLARNING TEKISLIK VA TO‘G‘RI CHIZIQ 

BILAN KESILISHI. SIRTLARNING YOYILMASI  

Reja: 

1.

 



Sirtni proeksiyalovchi tekislik bilan kesilishi 

2.

 



Konus kesimlari 

3.

 



Sirtni umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesilishi 

4.

 



Sirtni to‘g‘ri chiziq bilan kesilishi 

5.

 



Sirtlarning yoyilmasi 

 

Sirtlarni tekislik bilan kesish



 natijasida kesim yuzasi deb ataluvchi tekis shakl hosil 

bo‘ladi.  Ko‘pyoqlikni  kesim  yuzasi  umumiy  vaziyatda  ko‘pburchakdan,  egri 

sirtning kesim yuzasi esa egri chiziqdan iborat bo‘ladi.  

Ko‘pyoqliklarning kesim chizig‘i konturi kesuvchi tekislikning ko‘pyoqlik qirralari 

bilan  kesishgan  nuqtalar  orqali  aniqlanadi.  Aniqlangan  nuqtalar  ko‘pburchak 

shaklidagi kesim yuzasining uchlari hisoblanadi.  

Egri  sirtlarning  kesim  yuzasi  kesuvchi  tekislikning  egri  sirt  yasovchilari  bilan 

kesishgan  qator  nuqtalar  orqali  aniqlanadi.  Topilgan  nuqtalar  tekis  egri  chiziq 

ko‘rinishida tutashtirilib yasaladi. 

Demak, har qanday sirtning tekislik bilan kesishganda hosil bo‘lgan kesim yuzasini 

sirtga  tegishli  to‘g‘ri  yoki  egri  chiziqlarning  tekislik  bilan  kesishgan  nuqtalarini 

aniqlash orqali topiladi. 



1.

 

Sirtni proeksiyalovchi tekislik bilan kesilishi 

Agar kesuvchi tekislik proeksiyalovchi vaziyatda bo‘lsa, u holda kesim yuzasining 

bitta  proeksiyasi  kesuvchi  tekislikning  izi  bilan  ustma-ust  tushadi,  ikkinchi 

proeksiyasi esa proeksiyalarning mosligi asosida aniqlanadi. 

6.1,a-shaklda  oltiyoqli  prizmani  frontal  proeksiyalovchi  tekislik  bilan  kesishishi 

tasvirlangan.  Ushbu  holda  kesim  yuzasining  shakli qo‘shimcha  qurish  yo‘llaridan 

foydalanmay  aniqlanadi.  Kesim  yuzasining  frontal  proeksiyasi  (1

2

,  2



2

,  3


2

,...) 


kesuvchi  tekislikning  frontal 



П2

  izi  bilan  ustma-ust  tushgan.  Uning  gorizontal 

proeksiyasi  esa  prizma  qirralarining  gorizontal  proeksiyalari  (1

1

,  2


1

,  3


1

,...)  bilan 

ustma-ust  tushgan.  Shunday  qilib,  kesim  yuzaning  frontal  proeksiyasi  1

2

4



to‘g‘ri 


chiziqdan,  gorizontal  proeksiyasi  esa  1

1

2



1

3

1



4

1

5



1

6

1



  oltiburchakdan  iborat  bo‘ladi. 

Kesim yuzaning haqiqiy kattaligi 1

0

2

0



3

0

4



0

5

0



6

proeksiyani qayta qurish usuli bilan 



aniqlanishi  mumkin  (ushbu  holda  proeksiya  tekisligini  almashtirish  usulidan 

foydalanilgan).  



6.1,b-shaklda  aylanish  silindrini  frontal  proeksiyalovchi  tekislik  bilan  kesish  va 

uning  ellips  ko‘rinishidagi  kesim  yuzasini  qurish  tasvirlangan.  Kesim  yuzasi 

frontal proeksiyalar teksiligida to‘g‘ri chiziq shaklida ko‘rinadi. Uning gorizontal 

proksiyasi  esa  silinrning  gorizontal  proeksiyasi  bilan  ustma-ust  tushib  aylana 

ko‘rinishida  tasvirlangan.  Kesim  yuzaning  haqiqiy  kattaligi  1

0

3



0

2

0



4

yuqorida 



ko‘rilgan masaladagi singari aniqlanadi. Berilgan chizmada ellipsning katta 1

2

2



va 


kichik  3

1

4



o‘qlarining  haqiqiy  kattaliklari  mavjudligi  ellipsning  haqiqiy  kattaligi 

chizmaning ixtiyoriy joyiga chizish mumkin bo‘ladi. 

 

 



a) 

 

 

 

 

b) 

6.1-shakl 

6.2,a,b-shakllarda  og‘ma  prizma  va  og‘ma  silindrlarning  frontal  proeksiyalovchi 

tekislik  bilan  kesishgan  chiziqlarining  proeksiyalarini  yasash  ko‘rsatilgan.  Kesim 

yuzalari  og‘ma  prizmada  qirralarga  tegishliligi,  og‘ma  silindrda  yasovchilarga 

tegishliligi  asosida  aniqlangan.  Gorizontal  proeksiyalar  tekisligida  og‘ma 

prizmaning  kesim  yuzasi  (1

1

2

1



3

1

)



 

uchburchak,  og‘ma  silindrda  esa  ellips 

ko‘rinishida tasvirlangan.  

Og‘ma  silindr  kesim  yuzasining  gorizontal  proeksiyasidagi  ko‘rinar-ko‘rinmasga 

ajratuvchi  1

va  2



1

  nuqtalar  tegishli  yasovchilarning 



П

kesuvchi  tekislik  bilan 

kesishgan 1

va 2



2

 nuqtalarining proeksion bog‘lanishi orqali aniqlanadi.  

6.2,v-shaklda  oltiyoqli  to‘g‘ri  piramidaning  gorizontal  proeksiyalovchi  tekislik 

bilan kesishgan yuzasini qurish tasvirlangan. Piramidaning tekislik bilan kesishgan 

chizig‘ining  1

1

2



1

3

1



4

1

5



1

  nuqtalari  belgilab  olinadi.  Proeksion  bog‘liqlik  asosida 

kesim  yuzasining  frontal  proeksiyalari  1

2

2



2

3

2



4

2

5



2

  aniqlanadi.  Kesim  yuzasining 

haqiqiy  kattaligi  1

0

2



0

3

0



4

0

5



proeksiyalar  tekisliklarini  almatirish  usuli  yordamida 

aniqlangan.  


 

 

a) 



 

 

b) 

 

 

v) 

6.2-shakl 

2.

 

 Konus kesimlari 

To‘g‘ri konusning kesimlari kesuvchi tekislikning vaziyatiga qarab aylana, ellips, 

parabola, giperboladan iborat bo‘ladi. Agar kesuvchi tekislik konus uchidan o‘tgan 

hollarda  ikki  kesishuvchi  to‘g‘ri  chiziqdan  yoki  konus  uchidagi  nuqtadan  iborat 

bo‘ladi. 6.3,a-shaklda to‘g‘ri konusni 

 gorizontal tekislik bilan kesilganda kesim 



yuzaning  shakli  aylana  bo‘lishi  ko‘rsatilgan.  Ko‘rinib  turibdiki,  agar  kesuvchi 

 



tekislik  konus  asosiga  nisbatan  og‘ma  bo‘lsa  va  konusning  barcha  yasovchilarini 

kesib  o‘tsa,  konus  kesim  yuzasining  shakli  ellipsdan  iborat  bo‘ladi  (6.3,b-shakl). 

Ellipsning  katta  o‘qi  1-2(1

1

2



1

;  1


2

2

2



)  bo‘ladi.  Kichik  o‘qi  esa  frontal  proeksiyalar 

tekisligiga  1

2

2

2



  katta  o‘qni  teng  ikkiga  bo‘luvchi  (3

2

4



2

)  nuqta  ko‘rinishida 

proeksiyalanadi.  Kichik  o‘qning  gorizontal  proeksiyasini  aniqlash  uchun 

yordamchi  kesuvchi 

(



П2

)  tekisligidan  foydalanamiz.  U  konusni  aylana  bo‘ylab 

kesadi. Proeksion bog‘lanish asosida nuqtaning 3

va 4



1

 gorizontal proeksiyalarini 

aniqlaymiz.   Agar  kesuvchi tekislik  konusning biror  yasovchisiga parallel (

||SA



holatda kesgan bo‘lsa, u holda kesim yuzasining shakli paraboladan iborat bo‘ladi 

(6.3,v-shakl).  



 

a) 

 

b) 

 

v) 

 

g) 

6.3-shakl 

Agar kesuvchi tekislik konusning ikki yasovchisiga parallel (

||SA, 



||SB) holatda 

kesib  o‘tsa,  u  holda  kesim  yuzasining  shakli  giperboladan  iborat  bo‘ladi  (6.3,g-

shakl). Konusning ikki sohasi bo‘lgani singari, giperbola ham ikki sohadan iborat 

bo‘ladi. 

3.

 

Sirtni umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesilishi 

To‘g‘ri  doiraviy  konusni  ixtiyoriy  vaziyatdagi  tekislik  bilan  kesishuvi.  6.4-

shaklda  to‘g‘ri  doiraviy  konusni  ikki  kesishuvchi  a∩b  to‘g‘ri  chiziqlar  orqali 

berilgan  tekislik  bilan  kesishuvi  tasvirlangan.  Dastlab  tayanch  nuqtalarning 

topilishini  ko‘rib  chiqamiz.  Kesishish  chizig‘ini  konus  ocherkiga  tegishli,  ya’ni 

konus  chetki  yasovchilari  SA  va  SB  larning  berilgan  tekislik  bilan  kesishish 

nuqtalari E, F lar quyidagicha topiladi: SN va SM yasovchilar orqali o‘tuvchi 



П1

 

frontal tekislik o‘tkaziladi. U berilgan (a∩b) tekislikni 12(1



1

2

1



,1

2

2



2

) to‘g‘ri chiziq 

bo‘ylab,  konusni  esa  SM(S

1

M



1

,S

2



M

2

)  va  SN(S



1

N

1



,S

2

N



2

)  yasovchilar  bo‘ylab 

kesadi. 12 to‘g‘ri chiziq bilan SM va SN yasovchilarning kesishuvidan E(E

1

,E



2

) va 


F(F

1

,F



2

) nuqtalar hosil bo‘ladi.  

Yuqori (A) va quyi (B) nuqtalarni esa konusning vertikal  o‘qi orqali o‘tuvchi  va 

berilgan  tekislikka  perpendikulyar  bo‘lgan  yordamchi  T(T



П1

,T

П2

)  gorizontal 

proeksiyalovchi  tekislikdan  foydalanib  topamiz.  Buning  uchun  berilgan 

tekislikning  ixtiyoriy  h(h

1

,h

2

)  gorizontalini  o‘tkazamiz.  Gorizontalning  h



1

 

proeksiyasiga  perpendikulyar  qilib  S



1

  nuqta  orqali  yordamchi  T  tekislikning 

gorizontal T

П1

 izini o‘tkazamiz. T tekislikning konus bilan kesishishi chiziqlari S5 

va  S6  yasovchilarni,  hamda  berilgan  a∩b  tekislik  bilan  kesishish  chizig‘i  SG 

larning frontal proeksiyalarini o‘tkazamiz. Ular o‘zaro kesishib, mos ravishda quyi 

B va yuqori A nuqtalarning frontal proeksiyalari B

2

 va A



2

 nuqtalarni hosil qiladi. A 

va B nuqtalar orasidagi masofa kesim yuza – ellipsning katta o‘qi hisoblanadi.  

Asosi  N  tekislikka  tegishli  bo’lgan  to’g’ri  doiraviy  konus  sirti  bilan  a  to’g’ri 

chiziqning kesishishi va 9.9-9.10-rasmlarda tasvirlangan. Bu holda a to’g’ri chiziq 

orqali  o’tuvchi  yordamchi  tekislik  konusning  uchidan  o’tkaziladi.  Rasmllarda 

bunday tekislik o’zaro kesishuvchi a va h to’g’ri chiziqlar orqali berilgan. Bunda h 

gorizontal to’g’ri chiziq konusning S uchidan utadigan qilib o’tkazilgan hэS.  



 

 

To‘g‘ri doiraviy silindrning ixtiyoriy vaziyatdagi tekislik bilan kesishishi (6.5-

shakl).  Bu  holda  kesimning  gorizontal  proeksiyasi  silindrning  gorizontal 

proeksiyasi (asosi) bilan ustma-ust tushadi. Shuning uchun kesimning faqat frontal 

proeksiyasini topamiz. 

Dastlab silindrning chetki 1, 2 yasovchilari bilan 

 tekislikning kesishish nuqtalari 



A  va  B  ning  frontal  proeksiyalari  A

2

  va  B



2

  nuqtalarini  topamiz.  Buning  uchun 



chetki yasovchilar orqali 

(





П1

) frontal tekislik o‘tkazamiz. Bu tekislik berilgan 

 

tekislikni frontal chiziq bo‘yicha kesadi. Kesishish chizig‘ining frontal proeksiyasi 



silindr  chetki  yasovchilarining  frontal  proeksiyasi  bilan  kesishib,  A

2

  va  B



2

 

nuqtalarni hosil qiladi. 



Kesimning  eng  yuqori  va  eng  quyi  nuqtalarning  frontal  proeksiyalari  D

2

  va  C



2

 

nuqtalarni topish uchun silindrning o‘qidan o‘tuvchi va 



 tekislikka perpendikulyar 

bo‘lgan  T(T

П1

,  T


П2

)  gorizontal  proeksiyalovchi  tekislikni  o‘tkazamiz:  i

T

П1





П

1



Bu tekislik silindrni 4(4

1

,4

2

) va 5(5



1

,5

2

) yasovchilari, 



 tekislikni esa 67(6

1

7

1



,6

2

7



2

to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesadi. Bu yasovchilarning frontal proeksiyalari 6



2

7

2



 to‘g‘ri 

chiziq bilan kesishib, D

2

 va C



2

 nuqtalarni hosil qiladi. CD kesma, aniqrog‘i uning 

frontal proeksiyasi C

2

D



2

 kesim yuzasi – ellipsning katta o‘qi hisoblanadi. 

Silindr asosining gorizontal proeksiyasidagi markazidan o‘tuvchi h

1

 gorizontalning 



h

1



gorizontal proeksiyasi va silindrning asosi o‘zaro kesishib, F

1

 va G



1

 nuqtalarni 

hosil  qiladi.  Bu  nuqtalardan  proeksion  bog‘lanish  chiziqlarini  o‘tkazib,  

gorizontalning h

2



frontal proeksiyasida F



2

 va G


2

 nuqtalarni aniqlanadi. FG kesma, 

aniqrog‘i uning gorizontal proeksiyasi F

1

G



1

  kesim  yuzasi – ellipsning kichik o‘qi 

hisoblanadi. 

Kesimning  boshqa  nuqtalarini  tekislikning  gorizontal  yoki  frontal  chiziqlaridan 

foydalanib topish mumkin. Masalan, K nuqtaning frontal proeksiyasi K

2

 ni topish 



uchun  K

1

  nuqtadan  h  gorizontal  chiziqning  h



gorizontal  proeksiyasini  o‘tkazib, 

uning  frontal  proeksiyasi    h

2

  ning  silindr  vertikal  o‘qi  bilan  kesishgan  joyida  K



2

 

nuqtani  aniqlanadi.  Xuddi  shunday  yo‘l  bilan  ƒ(ƒ



1

,  ƒ

2

)  frontal  chiziq  yordamida 



ye(E

1

,E



2

) nuqta aniqlanadi. 



 

6.5-shakl 

Silindrning kuzatuvchiga qaratilgan oldingi yarim qismi ko‘rinadi, orqa tomondagi 

qismi  esa  ko‘rinmaydi.  Shunga  asosan,  kesimning  frontal  proeksiyasidagi 

A

2



G

2

K



2

C

2



B

2

 qismi  ko‘rinadi, B



2

F

2



E

2

D



2

A

2



 qismi esa ko‘rinmas  qilib chiziladi. Bu 

nuqtalarni tartib bilan tutashtirib, tekis egri chiziq – ellips hosil qilinadi. 

4.

 

Sirtlarni to’g’ri chiziq bilan kesishishi 



To’g’ri  chiziq  bilan  sirtlarning  kesishish  nuqtalari  sirtlarning  tekislik  bilan 

kesishish  chizig’ini  yasashga  asoslanib  topiladi.  Umuman,  biror  a  to’g’ri  chiziq 

bilanF sirtning kesishish nuqtasi quyidagicha aniqlanadi (9.6-rasm): 

 Berilgan  a  to’g’ri  chiziq  orqali  ixtiyoriy  yordamchi  R  tekislik o’tkaziladi.  R  a.  F 

sirt  bilan  R  tekislikning  kesishish  chizig’i  m  yasaladi.  F∩R=m.  m  chiziq  bilan 

berilgan a to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasi V belgilab olinadi: a∩m=V. 

Ma’lumki,  berilgan  to’g’ri  chiziq  orqaliistalgancha  tekislik  o’tkazish  mumkin. 

Agaryordamchi  tekislik  proyeksiyalovchi  vaziyatdao’tkazilsa,  masalaning 

yechilishi soddalashadi. Silindrik yoki konus sirtlar berilgan bo’lsa, to’g’ri chiziq 

orqali silindr yasovchilariga parallel yoki konus uchidan o’tuvchi tekislik o’tkazish 

maqsadga muvofiq bo’ladi. 

 

9.6-rasm 



 

9.7-rasmda a to’g’ri chiziq bilan F og’ma elliptik silindrning kesishish nuqtalarini 

yasash  yaqqol  tasvirda,  9.8-rasmda  esa  tekis  chizmada  ko’rsatilgan.  Kesishish 

nuqtalari E va E1 larni yasash tartibi quyidagicha: 

 

berilgan  a  to’g’ri  chiziq  orqali  silindrning  yasovchilariga  parallel  qilib 



ixtiyoriy  Q  tekislik  o’tkaziladi.  Buning  uchun  a  to’g’ri  chiziqqa  tegishli 

ixtiyoriy  A  nuqtani  belgilab  olib,  u  orqali  b  to’g’ri  chiziqni  silindrning 

yasovchilariga parallel qilib o’tkaziladi. Kesishuvchi a va b to’g’ri chiziqlar 

Q tekislikni ifodalaydi; 

 

Q  tekislik  bilan  F  silindrning  kesishish  chiziqlari  ℓ  va  ℓ1  yasovchilar 



yasaladi.  Q  tekislik  va  silindrning  asos  tekisligi  R  ning  o’zaro  kesishish 

chizig’i  BS  yasaladi.  BS  to’g’ri  chiziqning  silindr  asosi  m  bilan  kesishish 

nuqtalari 1 va 2 orqali ℓ va ℓ1 yasovchilar (kesishish chiziqlari) o’tkaziladi; 

 



berilgan a to’g’ri chiziq bilan ℓ va ℓ1 yasovchilarning kesishish nuqtalari E 

va  E1  belgilab  olinadi.  Asosi  N  tekislikka  tegishli  bo’lgan  to’g’ri  doiraviy 



konus  sirti  bilan  a  to’g’ri  chiziqning  kesishishi  va  9.9-9.10-rasmlarda 

tasvirlangan.  Bu  holda  a  to’g’ri  chiziq  orqali  o’tuvchi  yordamchi  tekislik 

konusning uchidan o’tkaziladi. 

 

 



 

           9.7-rasm                                                            9.8-rasm 

 

Rasmllarda  bunday  tekislik  o’zaro  kesishuvchi  a  va  h  to’g’ri  chiziqlar  orqali 



Ээberilgan. Bunda h gorizontal to’g’ri chiziq konusning S uchidan utadigan qilib 

o’tkazilgan hэS. 

 


 

            9.9-rasm                                                              9.10-rasm 

P tekislikning PH gorizontal izini yasab olamiz. Buning uchun a to’g’ri chiziqning 

aH′  gorizontal  izini  topib,  u  orqali  gorizontalning  gorizontal  proyeksiyasi  h′  ga 

parallel qilib PH iz o’tkaziladi. Konusning m′ asosi tekislikning PH izi bilan 2′ va 

3′  nuqtalarda  kesishadi.  2′  va  3′  nuqtalar  S′  bilan  tutashtirib,  S′2′  va  S′3′ 

yasovchilar  hosil  qilinadi.  Bu  yasovchilar  a′ 

to’g’ri  chiziq  bilan  kesishib,  E′va  E1′ 

nuqtalarni  xosil  qiladi.  E′  va  E1′  nuqtalardan 

proyeksion  bog’lanish  chiziqlari  o’tkazilib,  a″ 

to’g’ri  chiziq  bilan  kesishish  nuqtalari  E″  va 

E1″ belgilab olinadi. 

 

 

9.11-rasmda xususiy holda berilgan a(a′, 



a″) va b(b′, b″) to’g’ri chiziqlarning to’g’ri 

doiraviy konus bilan kesishish nuqtalarini 

yasash ko’rsatilgan a to’g’ri chiziq gorizontal 

proyeksiyalovchi, b to’g’ri chiziq frontal 

proyeksiyalovchi bo’lganligi sababli kesishish 

nuqtalarining bittadan proyeksiyalari E′va 

F″≡L″ (mos ravishda gorizontal va frontal 

proyeksiyalari) ma’lum bo’lib qoladi. 

Ularning ikkinchi proyeksiyalarning 

topilishini rasmdan ko’rib tushunish qiyin 

emas.  

 


 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



To’g’ri chiziqning sfera bilan kesishishi 9.12-rasmda tasvirlangan. a(a′, a″) to’g’ri 

chiziqning  sfera  bilan  kesishish  nuqtalarini  yasash  uchun  bu  to’g’ri  chiziq  orqali 

M(Mn)  gorizontal  proyeksiyalovchi  tekislik  o’tkaziladi.  Bu  tekislik  sferani 

diametri  1′2′  kesmaga  teng  bo’lgan  aylana  bo’yicha  kesadi.  1′2′  diametrli 

aylananing  gorizontal  proyeksiyasi  tekislikning  MH  izi  bilan  ustma-ust  tushadi: 

1′2′MN. Berilgan a to’g’ri chiziq bilan 12 diametrli aylananing kesishish nuqtalari 

E va F larning proyeksiyalari V tekislik M ga parallel bo’lgan ixtiyoriy V tekislik 

bilan  almashtirish  orqal  yasaladi.  Agar  a(a′,  a′′)  to’g’ri  chiziq  aylanish  sirtining 

aylanish  o’qi  bilan  kesishadigan  vaziyatda  berilgan  bo’lsa  (9.13-rasm),  u  holda 

to’g’ri  chiziqni  bu  o’q  atrofida  aylantirib,  uning  aylanish  sirti  bilan  kesishish 

nuqtalarini osongina yasash mumkin. 


        

 

9.12-rasm.                                                                9.13-rasm. 



 

 

5. Sirtlarning yoyilmasi 

Agar  sirtlarni  hamma  nuqtalarini  bir  tekislikka  joylashtirish  mumkin  bo‘lsa, 

bunday  sirtlarni  yoyiladigan  sirtlar  deyiladi.  Sirtni  tekislikka  yoyilish  natijasida 

hosil bo‘ladigan shaklga yoyilma deyiladi. 

Silindrik sirtlarning yoyilmalarini yasash 

Silindrik  sirtlarning  yoyilmalarini  yasashda  normal  kesim  va  dumalatish 

usullaridan  foydalaniladi. Har ikkala usul bilan ham  yoyilmani  yasashda silindrik 

sirtni  approksimatsiya  qilib  prizmatik  sirtga  keltiriladi  va  masala  prizmaning 

yoyilmasini  yasash  kabi  bajariladi.  Umuman  biror  silindrning  yoyilmasini  yasash 

uchun:  silindr  yoyilmasini  yasash  uchun  kerakli  yasovchilarning  haqiqiy 

uzunliklari  aniqlanadi;  bu  yasovchilar  orasidagi  asos  yoylarining  haqiqiy 

uzunliklari  topiladi;  10.5,a-rasmda  yasovchilari  frontal  vaziyatda  va  asosi  H 

tekislikda  yotgan  og’ma,  elliptik  silindir  tasvirlangan.  Bunday  silindrning 

yoyilmasi  (10.5,b-rasm)  normal  kesim  usulida  bajarilgan.  Silindrik  sirt  prizmatik 



sirtga approksimatsiya qilinadi. Buning uchun silindr asosini ixtiyoriy bo’laklarga 

bo’linadi (rasmda 8 ta teng bo’lakka bo’lingan). 

 

                                               10.5-rasm 



 

Bu  holda  silindrni  n  yoqli  prizmaga  almashtiriladi.  Silindrning  yasovchilariga 

perpendikulyar  bo’lgan  N  tekislik  bilan  kesishish  chizig’i  yasaladi.  Kesishish 

chizig’i, ya’ni normal  kesimning haqiqiy kattaligi  aylantirish usuli bilan topiladi. 

Asoslari  aylanish  o’qiga  perpendikulyar  bo’lgan  to’g’ri  doiraviy  silindr  yon 

sirtining yoyilmasi to’g’ri to’rtburchakdan iborat  bo’lib,  bunday to’rtburchakning 

tomonlari 2R va h0 ga teng bo’ladi (10.6,a-rasm). Bu yerda R – asosning radiusi, h 

– silindrning balandligi. Asosi N tekisligiga tegishli  va o’qi unga perpendikulyar 

bo’lgan  to’g’ri  doiraviy  silindrning  to’la  yoyilmasini  yasash  10.6,b-rasmda 

ko’rsatilgan.  Bunda  silindrning  1o2o  (1'  2',1"2")  yasovchisi  yoyilmaning 

boshlanish chizig’I deb olingan. 


 

                 a)                                            b) 

                                           10.6-rasm 

Konus sirtlarning yoyilmalarini yasash. 

Umumiy  holdagi  konus  sirtining  yoyilmasi  ham  piramida  yoyilmasini 

yasashdagidek,  uchburchaklar  usuli  bilan  bajariladi.  Buning  uchun  konus  o’ziga 

ichki  chizilgan  ko’pyoqlik  piramidaga  approksimatsiya  qilinadi  va  shu 

piramidaning  yoyilmasi  konus  sirtining  yoyilmasi  deb  qabul  qilinadi.  Ichki 

chizilgan  ko’pyoqlik  piramidaning  yoqlari  qanchalik  ko’p  bo’lsa,  konus  sirtining 

yoyilmasi shunchalik aniq bo’ladi.  

 

 

10.7,  a-rasmda  asosi  N  tekislikka  tegishli  F  og’ma  konus  tasvirlangan.  Bu 



konusning  yoyilmasini  yasashda  uchburchaklar  usulidan  foydalanamiz.  Konusni 

o’ziga  ichki  chizilgan  piramidaga  approksimatsiyalaymiz.  Konus  yasovchilari 

(piramida  qirralari)ning  haqiqiy  uzunliklarini  yasash  rasmda  aylantirish  usulida 


bajarilgan.  S1  yasovchini  yoyilmaning  boshlanish  chizig’i  deb  olamiz.  Chizma 

qog’ozining  bo’sh  joyida  ixtiyoriy  S0  nuktani  belgilaymiz  (10.7,b-rasm).  10.7,a-

rasmdan S1 yasovchining haqiqiy uzunligi bo’lgan S″1″1 kesmani o’lchab  va uni 

S0  nuqtadan  chiqarilgai  ixtiyoriy  a0  to’g’ri  chiziqqa  qo’yib,  10  nuqtani  hosil 

qilamiz.  So’ngra  So  nuqtani  markaz,  S"21'  ni  radius qilib  yoy  chizamiz.  Markazi 

10 nuqtada va radiusi 1′2′ bo’lgan ikkinchi yoy chizamiz. Har ikkala yoylar o’zaro 

kesishib 20 nuqtani hosil qiladi.  Yoyilmaning qolgan 30, 40, 50, ... nuqtalari ham 

shu  tartibda  yasaladi.  Hosil  bo’lgan  F0  figura  berilgan  konus  yon  sirtining 

yoyilmasi  bo’ladi.  Uni  konusning  asosi  –  ellips  bilan  to’ldirib,  to’la  yoyilmani 

hosil qilamiz. F konus sirtidagi AВ egri chiziqqa Fo figurada A0V0 to’g’ri chiziq 

mos  kelgan.  Shuning  uchun  AВ  –  konusning  geodezik  chizig’i  bo’ladi. 

Shuningdek,  konusning  hamma  yasovchilari  uning  geodezik  chizig’i  bo’la  oladi. 

10.8,a,b-rasmda  asosi  H  tekislikka  tegishli  va  uni  unga  perpendikulyar  bo’lgan 

to’g’ri  doiraviy  F  konus  Monj  chizmasida  berilgan.  Bunday  konus  yon  sirtining 

yoyilmasi doira sektoridan iborat bo’ladi. 

 

 



                     a)                                                                b) 

 

Nazorat savollari 

 

1.

 



Sirt deb nima ataladi? 

2.

 



Qanday sirtlarni aylanish sirtlari deyiladi? 

3.

 



Konusni tekislik bilan kesishganda qanday tekis shakllar hosil bo‘ladi? 

4.

 



Yoyiladigan sirtlar deb qanday sirtlarga aytiladi? 

5.

 



Konus yoyilmasida sektor burchagi  qanday aniqlanadi? 

 

 



Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling