Sirtlarning tekislik va to‘G‘ri chiziq bilan kesilishi. Sirtlarning yoyilmasi reja
Download 103.27 Kb. Pdf ko'rish
|
|
4.18. SIRTLARNING TEKISLIK VA TO‘G‘RI CHIZIQ BILAN KESILISHI. SIRTLARNING YOYILMASI Reja: 1.
Sirtni proeksiyalovchi tekislik bilan kesilishi 2.
Konus kesimlari 3.
Sirtni umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesilishi 4.
Sirtni to‘g‘ri chiziq bilan kesilishi 5.
Sirtlarning yoyilmasi
Sirtlarni tekislik bilan kesish natijasida kesim yuzasi deb ataluvchi tekis shakl hosil bo‘ladi. Ko‘pyoqlikni kesim yuzasi umumiy vaziyatda ko‘pburchakdan, egri sirtning kesim yuzasi esa egri chiziqdan iborat bo‘ladi. Ko‘pyoqliklarning kesim chizig‘i konturi kesuvchi tekislikning ko‘pyoqlik qirralari bilan kesishgan nuqtalar orqali aniqlanadi. Aniqlangan nuqtalar ko‘pburchak shaklidagi kesim yuzasining uchlari hisoblanadi. Egri sirtlarning kesim yuzasi kesuvchi tekislikning egri sirt yasovchilari bilan kesishgan qator nuqtalar orqali aniqlanadi. Topilgan nuqtalar tekis egri chiziq ko‘rinishida tutashtirilib yasaladi. Demak, har qanday sirtning tekislik bilan kesishganda hosil bo‘lgan kesim yuzasini sirtga tegishli to‘g‘ri yoki egri chiziqlarning tekislik bilan kesishgan nuqtalarini aniqlash orqali topiladi. 1. Sirtni proeksiyalovchi tekislik bilan kesilishi Agar kesuvchi tekislik proeksiyalovchi vaziyatda bo‘lsa, u holda kesim yuzasining bitta proeksiyasi kesuvchi tekislikning izi bilan ustma-ust tushadi, ikkinchi proeksiyasi esa proeksiyalarning mosligi asosida aniqlanadi. 6.1,a-shaklda oltiyoqli prizmani frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishishi tasvirlangan. Ushbu holda kesim yuzasining shakli qo‘shimcha qurish yo‘llaridan foydalanmay aniqlanadi. Kesim yuzasining frontal proeksiyasi (1 2 , 2 2 , 3
2 ,...)
kesuvchi tekislikning frontal
izi bilan ustma-ust tushgan. Uning gorizontal proeksiyasi esa prizma qirralarining gorizontal proeksiyalari (1 1 , 2
1 , 3
1 ,...) bilan ustma-ust tushgan. Shunday qilib, kesim yuzaning frontal proeksiyasi 1 2 4 2 to‘g‘ri
chiziqdan, gorizontal proeksiyasi esa 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 oltiburchakdan iborat bo‘ladi. Kesim yuzaning haqiqiy kattaligi 1 0 2
3 0 4 0 5 0 6 0 proeksiyani qayta qurish usuli bilan aniqlanishi mumkin (ushbu holda proeksiya tekisligini almashtirish usulidan foydalanilgan). 6.1,b-shaklda aylanish silindrini frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesish va uning ellips ko‘rinishidagi kesim yuzasini qurish tasvirlangan. Kesim yuzasi frontal proeksiyalar teksiligida to‘g‘ri chiziq shaklida ko‘rinadi. Uning gorizontal proksiyasi esa silinrning gorizontal proeksiyasi bilan ustma-ust tushib aylana ko‘rinishida tasvirlangan. Kesim yuzaning haqiqiy kattaligi 1 0 3 0 2 0 4 0 yuqorida ko‘rilgan masaladagi singari aniqlanadi. Berilgan chizmada ellipsning katta 1 2 2 2 va
kichik 3 1 4 1 o‘qlarining haqiqiy kattaliklari mavjudligi ellipsning haqiqiy kattaligi chizmaning ixtiyoriy joyiga chizish mumkin bo‘ladi.
a) b) 6.1-shakl 6.2,a,b-shakllarda og‘ma prizma va og‘ma silindrlarning frontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishgan chiziqlarining proeksiyalarini yasash ko‘rsatilgan. Kesim yuzalari og‘ma prizmada qirralarga tegishliligi, og‘ma silindrda yasovchilarga tegishliligi asosida aniqlangan. Gorizontal proeksiyalar tekisligida og‘ma prizmaning kesim yuzasi (1 1 2
3 1 ) uchburchak, og‘ma silindrda esa ellips ko‘rinishida tasvirlangan. Og‘ma silindr kesim yuzasining gorizontal proeksiyasidagi ko‘rinar-ko‘rinmasga ajratuvchi 1 1 va 2 1 nuqtalar tegishli yasovchilarning
kesuvchi tekislik bilan kesishgan 1 2 va 2 2 nuqtalarining proeksion bog‘lanishi orqali aniqlanadi. 6.2,v-shaklda oltiyoqli to‘g‘ri piramidaning gorizontal proeksiyalovchi tekislik bilan kesishgan yuzasini qurish tasvirlangan. Piramidaning tekislik bilan kesishgan chizig‘ining 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 nuqtalari belgilab olinadi. Proeksion bog‘liqlik asosida kesim yuzasining frontal proeksiyalari 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 aniqlanadi. Kesim yuzasining haqiqiy kattaligi 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 proeksiyalar tekisliklarini almatirish usuli yordamida aniqlangan.
b) v) 6.2-shakl 2. Konus kesimlari To‘g‘ri konusning kesimlari kesuvchi tekislikning vaziyatiga qarab aylana, ellips, parabola, giperboladan iborat bo‘ladi. Agar kesuvchi tekislik konus uchidan o‘tgan hollarda ikki kesishuvchi to‘g‘ri chiziqdan yoki konus uchidagi nuqtadan iborat bo‘ladi. 6.3,a-shaklda to‘g‘ri konusni gorizontal tekislik bilan kesilganda kesim yuzaning shakli aylana bo‘lishi ko‘rsatilgan. Ko‘rinib turibdiki, agar kesuvchi
tekislik konus asosiga nisbatan og‘ma bo‘lsa va konusning barcha yasovchilarini kesib o‘tsa, konus kesim yuzasining shakli ellipsdan iborat bo‘ladi (6.3,b-shakl). Ellipsning katta o‘qi 1-2(1 1 2 1 ; 1
2 2 2 ) bo‘ladi. Kichik o‘qi esa frontal proeksiyalar tekisligiga 1 2 2
katta o‘qni teng ikkiga bo‘luvchi (3 2 4 2 ) nuqta ko‘rinishida proeksiyalanadi. Kichik o‘qning gorizontal proeksiyasini aniqlash uchun yordamchi kesuvchi (
П2 ) tekisligidan foydalanamiz. U konusni aylana bo‘ylab kesadi. Proeksion bog‘lanish asosida nuqtaning 3 1 va 4 1 gorizontal proeksiyalarini aniqlaymiz. Agar kesuvchi tekislik konusning biror yasovchisiga parallel ( ||SA) holatda kesgan bo‘lsa, u holda kesim yuzasining shakli paraboladan iborat bo‘ladi (6.3,v-shakl). a) b) v) g) 6.3-shakl Agar kesuvchi tekislik konusning ikki yasovchisiga parallel ( ||SA, ||SB) holatda kesib o‘tsa, u holda kesim yuzasining shakli giperboladan iborat bo‘ladi (6.3,g- shakl). Konusning ikki sohasi bo‘lgani singari, giperbola ham ikki sohadan iborat bo‘ladi.
shaklda to‘g‘ri doiraviy konusni ikki kesishuvchi a∩b to‘g‘ri chiziqlar orqali berilgan tekislik bilan kesishuvi tasvirlangan. Dastlab tayanch nuqtalarning topilishini ko‘rib chiqamiz. Kesishish chizig‘ini konus ocherkiga tegishli, ya’ni konus chetki yasovchilari SA va SB larning berilgan tekislik bilan kesishish nuqtalari E, F lar quyidagicha topiladi: SN va SM yasovchilar orqali o‘tuvchi
frontal tekislik o‘tkaziladi. U berilgan (a∩b) tekislikni 12(1 1 2 1 ,1 2 2 2 ) to‘g‘ri chiziq bo‘ylab, konusni esa SM(S 1 M 1 ,S 2 M 2 ) va SN(S 1 N 1 ,S 2 N 2 ) yasovchilar bo‘ylab kesadi. 12 to‘g‘ri chiziq bilan SM va SN yasovchilarning kesishuvidan E(E 1 ,E 2 ) va
F(F 1 ,F 2 ) nuqtalar hosil bo‘ladi. Yuqori (A) va quyi (B) nuqtalarni esa konusning vertikal o‘qi orqali o‘tuvchi va berilgan tekislikka perpendikulyar bo‘lgan yordamchi T(T П1 ,T
) gorizontal proeksiyalovchi tekislikdan foydalanib topamiz. Buning uchun berilgan tekislikning ixtiyoriy h(h 1
2 ) gorizontalini o‘tkazamiz. Gorizontalning h 1
proeksiyasiga perpendikulyar qilib S 1 nuqta orqali yordamchi T tekislikning gorizontal T
izini o‘tkazamiz. T tekislikning konus bilan kesishishi chiziqlari S5 va S6 yasovchilarni, hamda berilgan a∩b tekislik bilan kesishish chizig‘i SG larning frontal proeksiyalarini o‘tkazamiz. Ular o‘zaro kesishib, mos ravishda quyi B va yuqori A nuqtalarning frontal proeksiyalari B 2 va A 2 nuqtalarni hosil qiladi. A va B nuqtalar orasidagi masofa kesim yuza – ellipsning katta o‘qi hisoblanadi. Asosi N tekislikka tegishli bo’lgan to’g’ri doiraviy konus sirti bilan a to’g’ri chiziqning kesishishi va 9.9-9.10-rasmlarda tasvirlangan. Bu holda a to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi yordamchi tekislik konusning uchidan o’tkaziladi. Rasmllarda bunday tekislik o’zaro kesishuvchi a va h to’g’ri chiziqlar orqali berilgan. Bunda h gorizontal to’g’ri chiziq konusning S uchidan utadigan qilib o’tkazilgan hэS. To‘g‘ri doiraviy silindrning ixtiyoriy vaziyatdagi tekislik bilan kesishishi (6.5- shakl). Bu holda kesimning gorizontal proeksiyasi silindrning gorizontal proeksiyasi (asosi) bilan ustma-ust tushadi. Shuning uchun kesimning faqat frontal proeksiyasini topamiz. Dastlab silindrning chetki 1, 2 yasovchilari bilan tekislikning kesishish nuqtalari A va B ning frontal proeksiyalari A 2 va B 2 nuqtalarini topamiz. Buning uchun chetki yasovchilar orqali ( П1 ) frontal tekislik o‘tkazamiz. Bu tekislik berilgan
silindr chetki yasovchilarining frontal proeksiyasi bilan kesishib, A 2 va B 2
nuqtalarni hosil qiladi. Kesimning eng yuqori va eng quyi nuqtalarning frontal proeksiyalari D 2 va C 2
nuqtalarni topish uchun silindrning o‘qidan o‘tuvchi va tekislikka perpendikulyar bo‘lgan T(T
, T
П2 ) gorizontal proeksiyalovchi tekislikni o‘tkazamiz: i T
П 1 . Bu tekislik silindrni 4(4 1
2 ) va 5(5 1 ,5 2 ) yasovchilari, tekislikni esa 67(6 1 7
,6 2 7 2 ) to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesadi. Bu yasovchilarning frontal proeksiyalari 6 2 7 2 to‘g‘ri chiziq bilan kesishib, D 2 va C 2 nuqtalarni hosil qiladi. CD kesma, aniqrog‘i uning frontal proeksiyasi C 2 D 2 kesim yuzasi – ellipsning katta o‘qi hisoblanadi. Silindr asosining gorizontal proeksiyasidagi markazidan o‘tuvchi h 1 gorizontalning h 1 1 gorizontal proeksiyasi va silindrning asosi o‘zaro kesishib, F 1 va G 1 nuqtalarni hosil qiladi. Bu nuqtalardan proeksion bog‘lanish chiziqlarini o‘tkazib, gorizontalning h 2 1
2 va G
2 nuqtalarni aniqlanadi. FG kesma, aniqrog‘i uning gorizontal proeksiyasi F 1 G 1 kesim yuzasi – ellipsning kichik o‘qi hisoblanadi. Kesimning boshqa nuqtalarini tekislikning gorizontal yoki frontal chiziqlaridan foydalanib topish mumkin. Masalan, K nuqtaning frontal proeksiyasi K 2 ni topish uchun K 1 nuqtadan h gorizontal chiziqning h 1 gorizontal proeksiyasini o‘tkazib, uning frontal proeksiyasi h 2 ning silindr vertikal o‘qi bilan kesishgan joyida K 2
nuqtani aniqlanadi. Xuddi shunday yo‘l bilan ƒ(ƒ 1 , ƒ 2 ) frontal chiziq yordamida ye(E 1 ,E 2 ) nuqta aniqlanadi. 6.5-shakl Silindrning kuzatuvchiga qaratilgan oldingi yarim qismi ko‘rinadi, orqa tomondagi qismi esa ko‘rinmaydi. Shunga asosan, kesimning frontal proeksiyasidagi A 2 G 2 K 2 C 2 B 2 qismi ko‘rinadi, B 2 F 2 E 2 D 2 A 2 qismi esa ko‘rinmas qilib chiziladi. Bu nuqtalarni tartib bilan tutashtirib, tekis egri chiziq – ellips hosil qilinadi. 4.
To’g’ri chiziq bilan sirtlarning kesishish nuqtalari sirtlarning tekislik bilan kesishish chizig’ini yasashga asoslanib topiladi. Umuman, biror a to’g’ri chiziq bilanF sirtning kesishish nuqtasi quyidagicha aniqlanadi (9.6-rasm): Berilgan a to’g’ri chiziq orqali ixtiyoriy yordamchi R tekislik o’tkaziladi. R a. F sirt bilan R tekislikning kesishish chizig’i m yasaladi. F∩R=m. m chiziq bilan berilgan a to’g’ri chiziqning kesishish nuqtasi V belgilab olinadi: a∩m=V. Ma’lumki, berilgan to’g’ri chiziq orqaliistalgancha tekislik o’tkazish mumkin. Agaryordamchi tekislik proyeksiyalovchi vaziyatdao’tkazilsa, masalaning yechilishi soddalashadi. Silindrik yoki konus sirtlar berilgan bo’lsa, to’g’ri chiziq orqali silindr yasovchilariga parallel yoki konus uchidan o’tuvchi tekislik o’tkazish maqsadga muvofiq bo’ladi.
9.6-rasm 9.7-rasmda a to’g’ri chiziq bilan F og’ma elliptik silindrning kesishish nuqtalarini yasash yaqqol tasvirda, 9.8-rasmda esa tekis chizmada ko’rsatilgan. Kesishish nuqtalari E va E1 larni yasash tartibi quyidagicha:
ixtiyoriy Q tekislik o’tkaziladi. Buning uchun a to’g’ri chiziqqa tegishli ixtiyoriy A nuqtani belgilab olib, u orqali b to’g’ri chiziqni silindrning yasovchilariga parallel qilib o’tkaziladi. Kesishuvchi a va b to’g’ri chiziqlar Q tekislikni ifodalaydi;
yasaladi. Q tekislik va silindrning asos tekisligi R ning o’zaro kesishish chizig’i BS yasaladi. BS to’g’ri chiziqning silindr asosi m bilan kesishish nuqtalari 1 va 2 orqali ℓ va ℓ1 yasovchilar (kesishish chiziqlari) o’tkaziladi;
berilgan a to’g’ri chiziq bilan ℓ va ℓ1 yasovchilarning kesishish nuqtalari E va E1 belgilab olinadi. Asosi N tekislikka tegishli bo’lgan to’g’ri doiraviy konus sirti bilan a to’g’ri chiziqning kesishishi va 9.9-9.10-rasmlarda tasvirlangan. Bu holda a to’g’ri chiziq orqali o’tuvchi yordamchi tekislik konusning uchidan o’tkaziladi.
9.7-rasm 9.8-rasm
Rasmllarda bunday tekislik o’zaro kesishuvchi a va h to’g’ri chiziqlar orqali Ээberilgan. Bunda h gorizontal to’g’ri chiziq konusning S uchidan utadigan qilib o’tkazilgan hэS.
9.9-rasm 9.10-rasm P tekislikning PH gorizontal izini yasab olamiz. Buning uchun a to’g’ri chiziqning aH′ gorizontal izini topib, u orqali gorizontalning gorizontal proyeksiyasi h′ ga parallel qilib PH iz o’tkaziladi. Konusning m′ asosi tekislikning PH izi bilan 2′ va 3′ nuqtalarda kesishadi. 2′ va 3′ nuqtalar S′ bilan tutashtirib, S′2′ va S′3′ yasovchilar hosil qilinadi. Bu yasovchilar a′ to’g’ri chiziq bilan kesishib, E′va E1′ nuqtalarni xosil qiladi. E′ va E1′ nuqtalardan proyeksion bog’lanish chiziqlari o’tkazilib, a″ to’g’ri chiziq bilan kesishish nuqtalari E″ va E1″ belgilab olinadi.
a″) va b(b′, b″) to’g’ri chiziqlarning to’g’ri doiraviy konus bilan kesishish nuqtalarini yasash ko’rsatilgan a to’g’ri chiziq gorizontal proyeksiyalovchi, b to’g’ri chiziq frontal proyeksiyalovchi bo’lganligi sababli kesishish nuqtalarining bittadan proyeksiyalari E′va F″≡L″ (mos ravishda gorizontal va frontal proyeksiyalari) ma’lum bo’lib qoladi. Ularning ikkinchi proyeksiyalarning topilishini rasmdan ko’rib tushunish qiyin emas.
To’g’ri chiziqning sfera bilan kesishishi 9.12-rasmda tasvirlangan. a(a′, a″) to’g’ri chiziqning sfera bilan kesishish nuqtalarini yasash uchun bu to’g’ri chiziq orqali M(Mn) gorizontal proyeksiyalovchi tekislik o’tkaziladi. Bu tekislik sferani diametri 1′2′ kesmaga teng bo’lgan aylana bo’yicha kesadi. 1′2′ diametrli aylananing gorizontal proyeksiyasi tekislikning MH izi bilan ustma-ust tushadi: 1′2′MN. Berilgan a to’g’ri chiziq bilan 12 diametrli aylananing kesishish nuqtalari E va F larning proyeksiyalari V tekislik M ga parallel bo’lgan ixtiyoriy V tekislik bilan almashtirish orqal yasaladi. Agar a(a′, a′′) to’g’ri chiziq aylanish sirtining aylanish o’qi bilan kesishadigan vaziyatda berilgan bo’lsa (9.13-rasm), u holda to’g’ri chiziqni bu o’q atrofida aylantirib, uning aylanish sirti bilan kesishish nuqtalarini osongina yasash mumkin.
9.12-rasm. 9.13-rasm. 5. Sirtlarning yoyilmasi Agar sirtlarni hamma nuqtalarini bir tekislikka joylashtirish mumkin bo‘lsa, bunday sirtlarni yoyiladigan sirtlar deyiladi. Sirtni tekislikka yoyilish natijasida hosil bo‘ladigan shaklga yoyilma deyiladi. Silindrik sirtlarning yoyilmalarini yasash Silindrik sirtlarning yoyilmalarini yasashda normal kesim va dumalatish usullaridan foydalaniladi. Har ikkala usul bilan ham yoyilmani yasashda silindrik sirtni approksimatsiya qilib prizmatik sirtga keltiriladi va masala prizmaning yoyilmasini yasash kabi bajariladi. Umuman biror silindrning yoyilmasini yasash uchun: silindr yoyilmasini yasash uchun kerakli yasovchilarning haqiqiy uzunliklari aniqlanadi; bu yasovchilar orasidagi asos yoylarining haqiqiy uzunliklari topiladi; 10.5,a-rasmda yasovchilari frontal vaziyatda va asosi H tekislikda yotgan og’ma, elliptik silindir tasvirlangan. Bunday silindrning yoyilmasi (10.5,b-rasm) normal kesim usulida bajarilgan. Silindrik sirt prizmatik sirtga approksimatsiya qilinadi. Buning uchun silindr asosini ixtiyoriy bo’laklarga bo’linadi (rasmda 8 ta teng bo’lakka bo’lingan).
10.5-rasm Bu holda silindrni n yoqli prizmaga almashtiriladi. Silindrning yasovchilariga perpendikulyar bo’lgan N tekislik bilan kesishish chizig’i yasaladi. Kesishish chizig’i, ya’ni normal kesimning haqiqiy kattaligi aylantirish usuli bilan topiladi. Asoslari aylanish o’qiga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri doiraviy silindr yon sirtining yoyilmasi to’g’ri to’rtburchakdan iborat bo’lib, bunday to’rtburchakning tomonlari 2R va h0 ga teng bo’ladi (10.6,a-rasm). Bu yerda R – asosning radiusi, h – silindrning balandligi. Asosi N tekisligiga tegishli va o’qi unga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri doiraviy silindrning to’la yoyilmasini yasash 10.6,b-rasmda ko’rsatilgan. Bunda silindrning 1o2o (1' 2',1"2") yasovchisi yoyilmaning boshlanish chizig’I deb olingan.
a) b) 10.6-rasm Konus sirtlarning yoyilmalarini yasash. Umumiy holdagi konus sirtining yoyilmasi ham piramida yoyilmasini yasashdagidek, uchburchaklar usuli bilan bajariladi. Buning uchun konus o’ziga ichki chizilgan ko’pyoqlik piramidaga approksimatsiya qilinadi va shu piramidaning yoyilmasi konus sirtining yoyilmasi deb qabul qilinadi. Ichki chizilgan ko’pyoqlik piramidaning yoqlari qanchalik ko’p bo’lsa, konus sirtining yoyilmasi shunchalik aniq bo’ladi.
konusning yoyilmasini yasashda uchburchaklar usulidan foydalanamiz. Konusni o’ziga ichki chizilgan piramidaga approksimatsiyalaymiz. Konus yasovchilari (piramida qirralari)ning haqiqiy uzunliklarini yasash rasmda aylantirish usulida
bajarilgan. S1 yasovchini yoyilmaning boshlanish chizig’i deb olamiz. Chizma qog’ozining bo’sh joyida ixtiyoriy S0 nuktani belgilaymiz (10.7,b-rasm). 10.7,a- rasmdan S1 yasovchining haqiqiy uzunligi bo’lgan S″1″1 kesmani o’lchab va uni S0 nuqtadan chiqarilgai ixtiyoriy a0 to’g’ri chiziqqa qo’yib, 10 nuqtani hosil qilamiz. So’ngra So nuqtani markaz, S"21' ni radius qilib yoy chizamiz. Markazi 10 nuqtada va radiusi 1′2′ bo’lgan ikkinchi yoy chizamiz. Har ikkala yoylar o’zaro kesishib 20 nuqtani hosil qiladi. Yoyilmaning qolgan 30, 40, 50, ... nuqtalari ham shu tartibda yasaladi. Hosil bo’lgan F0 figura berilgan konus yon sirtining yoyilmasi bo’ladi. Uni konusning asosi – ellips bilan to’ldirib, to’la yoyilmani hosil qilamiz. F konus sirtidagi AВ egri chiziqqa Fo figurada A0V0 to’g’ri chiziq mos kelgan. Shuning uchun AВ – konusning geodezik chizig’i bo’ladi. Shuningdek, konusning hamma yasovchilari uning geodezik chizig’i bo’la oladi. 10.8,a,b-rasmda asosi H tekislikka tegishli va uni unga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri doiraviy F konus Monj chizmasida berilgan. Bunday konus yon sirtining yoyilmasi doira sektoridan iborat bo’ladi.
a) b) Nazorat savollari 1.
Sirt deb nima ataladi? 2.
Qanday sirtlarni aylanish sirtlari deyiladi? 3.
Konusni tekislik bilan kesishganda qanday tekis shakllar hosil bo‘ladi? 4.
Yoyiladigan sirtlar deb qanday sirtlarga aytiladi? 5.
Konus yoyilmasida sektor burchagi qanday aniqlanadi? Download 103.27 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|