Система алгебраических уравнений и алгебраических уравниваний Арзиева Шахноза

Методы исключения Гаусса Постановка задачи Дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), состоящая из n уравнений с n неизвестными : Предполагается, что существует единственное решение системы, то есть detA \neq 0. В данной статье будут рассмотрены причины погрешности, возникающей во время решения системы с помощью метода Гаусса, способы выявления и ликвидации(уменьшения) этой погрешности.

Описание метода Процесс решения системы линейных уравнений по методу Гаусса состоит из 2х этапов: Прямой ход Система (2) приводится к треугольному виду 1. Предполагаем, что a_{11} \neq 0 . Тогда первое уравнение системы (2) делим на коэффициент a_{11}, в результате получаем уравнение

Затем из каждого из оставшихся уравнений вычитается первое, умноженное на соответствующий коэффициент a_{i1}. В результате система преобразуются к виду 2. В предположении, что a_{22}^1 \neq 0, делим второе уравнение на коэффициент a_{22}^1 и исключаем неизвестное x_2 из всех последующих уравнений и т.д. 3. Получаем систему уравнений с треугольной матрицей:

Релаксационные методы — частный случай итерационных методов решения СЛАУ. Итерационные методы являются особенно эффективными при решении систем с большим количеством неизвестных (порядка 1000 и более).

Введение В общем случае сначала задаётся некоторый вектор x0, называемый начальным приближением. В общем случае начальное приближение может быть любым. От него строится последовательность x1, x2,...,xk и так далее, где число k называют номером итерации. Итерационный метод назвается одношаговым, если каждое последующее итерационное приближение строится только по одному предыдущему: Если F - линейная функция, то соответствующий итерационный метод называется линейным. Согласно определению, можно получить каноническую форму записи одношагового итерационного метода: Если B_{k+1} = E , то соответствующий метод называется явным, в противном случае – неявным.

Изложение метода Релаксационные методы являются стационарными и неявными решения СЛАУ. Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений: Ax=f Представим матрицу A в виде суммы трёх матриц A_1, A_2 и D: A = A_1 + D + A_2 Где A_1 - нижнетреугольная, A_2 - верхнетреугольная, D - диагональная Каноническая форма релаксационного метода записывается следующим образом Где w-- некий числовой параметр