Sistemaning umumiy yechimi. Gauss usulining Gauss-Jordan modifikatsiyasi

CHIZIQLI ALMASHTIRISHGA QO'SHMA ALMASHTIRISH
Reja:

1. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasi
   
2. 
   Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari
   
3. 
   Sistemaning umumiy yechimi. Gauss usuli. Gauss usulining Gauss-Jordan modifikatsiyasi
   
4. 
   Arifmetik vektorlar va ular ustida amallar
   

Chiziqli tenglamalar sistemasi
Ushbu tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:
 (2)
Sistemaning matritsasini hamda noma`lumlar va ozod hadlar matritsa ustunlarini qaraymiz:
; ;
u holda

(2) sistemani matritsalar tengligi ta`rifidan foydalaninb quyidagicha yozish mumkin:
 ;
yoki qisqacha AX=C . (3) tenglama matritsali tenglama deyiladi.
Agar A matritsa aynimagan matritsa bo`lsa, u holda (3) tenglama quyidagicha yechiladi. Tenglamaning har ikkala tomoni A matritsaning teskarisi  ga ko`paytirib,
yoki


,
bo`lgani uchun tenglamaning
 (4)
ko`rinishidagi yechimiga ega bo`lamiz.
Misol. Ushbu tenglamalar sistemasini matritsalar usuli bilan yeching

Yechish:

A matritsa uchun teskari  matritsa yuqorida topilgan edi (teskari matritsa misoliga qarang!)

Sistemaning yechimini (4) shaklida yozib

Bu yerdan, ikki matritsaning tengligi ta`rifidan  . Bu qiymatlarni berilgan sistemaga qo`yib, haqiqatdan sistema yechimi ekanligiga ishonch hosil qilamiz.


Chiziqli tenglamalar sistemasini teskari matritsa usulida yechish
n ta noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi



berilgan bo‘lsin. Matritsalarni ko‘paytirish amali va matritsalar tengligi ta’rifidan foydalanib, sistemani
AX = B

matritsali tenglama ko‘rinishida yozish mumkin. Bu yerda, A = (a_iκ) - asosiy matritsa, B – ozod hadlar ustun matritsasi va X - noma’lumlar ustun matritsasi.

Sistemaning asosiy matritsasi A maxsusmas bo‘lib, A^-1 uning tes-kari matritsasi bo‘lsin. AX = B tenglama ikkala qismini chapdan tes-kari A^-1 matritsaga ko‘paytiramiz va

A^-1A = E, EX =X

tengliklarni e’tiborga olsak,

X = A^-1B (1)

tenglamani olamiz. (1) tenglama tenglamalar sistemasi yechimini matritsa shaklda yozish yoki sistemani teskari matritsa usulida ye-chish formulasi deyiladi. Shunday qilib, sistemani teskari matritsa usulida yechish uchun A kvadrat matritsa teskarisi A^-1 quriladi va u chapdan ozod hadlar matritsasi B ga ko‘paytiriladi.

Masala. Quyida berilgan chiziqli tenglamalar sistemalarini teskari matritsa usulida yeching:
1) 2) 3)

1)

Sistema yechimi: ( 9; -5 ).

2) qism matritsa rangi sistema rangiga teng bo‘lgani uchun sistema dastlabki ko‘rinishini unga teng kuchli quyidagi shakli bilan almashtiramiz:

Yuqoridagi sistemani matritsalar usulini qo‘llab yechish mumkin:

Sistema aniqmas bo‘lib, umumiy yechim ko‘rinishlaridan biri shaklda yozilishi mumkin. Bu yerda, x₂єR.

3) Sistema asosiy matritsasi teskarisini Jordan usulida aniqlaymiz:


 …

Sistema yagona yechimini teskari matritsa usuli formulasini qo‘l-lab, quramiz:

Sistema yechimi: ( -2; -1; 2 ).

Har bir usul kabi teskari matritsa usuli o‘zining afzallik va noqulaylik jihatlarga ega. Bir nechta asosiy matritsalari aynan teng va biri-biridan faqat ozod hadlari ustuni bilan farq qiluvchi sistemalarni teskari matritsa usulida yechgan maqsadga muvofiq. Chunki, bir marta qurilgan teskari matritsa mos ozod hadlari ustuniga ko‘paytiriladi va natija olinaveradi. Usulning noqulay jihati teskari matritsa qurish jarayoni bilan bog‘liq bo‘lib, ayniqsa, detA nolga yaqin bo‘lganda ko‘p xonali sonlar ustida hisob-kitoblarni talab etadi.