Solenoidal maydon Rotor xossasi Sirkulsiya Stoks teoremasi potensianal maydon Reja

Dvergensiya rotor ostrogradskiy Gauss teoramasi
Solenoidal maydon Rotor xossasi Sirkulsiya Stoks teoremasi potensianal maydon
Reja
1. Divergentsiya haqida malumot
2. Dvergensiya rotor ostrogradskiy
3. Dvergensiya rotor ostrogradskiy gauss teoramasi
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

Maydon chiziqlari va oqim vektori. Ba'zi vektor maydonini o'rganmoqchi bo'lsak, biz ma'lum bir narsani ajratib ko'rsatishimiz mumkin V jild va ushbu jilddagi maydon chiziqlari naqshiga e'tibor bering. Shaklda. 3.1, ehtimol, bu holda uchrashadigan maydon chiziqlarining bir nechta xarakterli turlarini ko'rsatadi (chiziq chiziq ko'rsatilgan) . S chegarasi mintaqa V ). Ko'rib turganingizdek, hajm ichidagi holatlardan birida kuch chiziqlarining "manbai" (3.1a-rasm) yoki " c oqim " (3.16-rasm), ya'ni chiziqlar V dan chiqadi. yoki mos ravishda V ga kiritilgan S chegarasi bo'ylab . Ammo kuch chiziqlari V ni ham teshishi mumkin orqali, bu sohada boshlanmasdan yoki tugamasdan (3.1e-rasm). Nihoyat, yopiq kuch chiziqlari S chegarasini umuman kesib o'tmasligi mumkin (3.1d-rasm). Umuman olganda, vektor funksiya berilganda va unga mos vektor maydoni o'rganilganda, qandaydir P nuqta bormi, degan savol tug'ilishi tabiiy.

, vektor oqimi tushunchasidan boshlaylik . Vektor oqimi F chegara (sirt) orqali S integral deyiladi
bu erda sirtning vektor differensialligi odatdagi mahsulot sifatida tushuniladi differentsial ds sirtga birlik normal vektoriga , ya'ni. ; tashqi normal ijobiy deb hisoblanadi (bu yopiq sirt uchun yagona aniqlanadi). Vektor oqimini hisoblashda integralni olish jarayoni rasmda ko'rsatilgan. 3.2. Ikki vektorning skalyar koʻpaytmasi boʻlgan integranda ular orasidagi burchak oʻtkir boʻlsa musbat, burchak oʻtmas boʻlsa manfiy boʻladi.
o'tsa (tashqi normal bilan o'tkir burchak hosil qilsa) vektor oqimi majburiy ravishda ijobiy bo'ladi , masalan, rasmda. 3.1a, va ular kirganda salbiy ichida (3.16-rasm). Yopiq holatda Odatda yuzalar yozadi:
S sirt orqali vektor oqimini , agar ularning zichligi maydonning intensivligini tavsiflash sharti bilan, uni kesib o'tadigan kuch chiziqlari soni bilan o'lchanishi mumkinligini ko'rsatamiz . Avval vektor sirt elementini ko'rib chiqing ( maydon elementi D s rasmda. 3.2 soyali). DS orqali o'tuvchi elementar DF ga teng
bu erda vektor elementining vektor yo'nalishiga proyeksiyasi Shakldan ko'rinib turibdiki . 3.2, vektorning barcha kuch chiziqlari to'g'ri burchak ostida o'tadigan platforma , D s elementini kesib o'tadi ; ularning sonini D N bilan belgilaymiz . Maydon chiziqlarining zichligi D N / nisbati bilan tavsiflanadi va shartga ko'ra ikkinchisi F ning mutlaq qiymatiga mutanosib bo'lishi kerak.
ya'ni elementar oqim sirtning mos keladigan elementidan o'tadigan kuch chiziqlari soni bilan o'lchanadi. Elementar maydonlarning oqimlarini qo'shish S sirtini topamiz :
= Demak, vektorning umumiy oqimi F sirt orqali S o'lchanadi raqam N uni kesib o'tadigan kuch chiziqlari ko'rsatilishi kerak edi. Bunday holda, chiquvchi maydon chiziqlari soni ijobiy, kiruvchisi esa salbiy hisoblanadi. Va nihoyat, yana bir eslatma kerak. Biz (3.5) munosabatni aniq ko'rib chiqamiz, garchi amalda oqimni maydon chiziqlari soni bo'yicha ifodalashning aniqligi qurilgan rasmning pürüzlülük darajasiga bog'liq. Mohiyatan, (3.5) formulani aniq deb hisoblash mumkin, agar maydon birligiga to'g'ri keladigan kuch chiziqlari soni shartli ravishda uzluksiz funktsiya deb hisoblansa, o'sishlar differentsiallar bilan almashtirilsa va elementlar ustidagi oqimning yig'indisi integratsiya bo'lsa.
3.2. Divergentsiya. Ta'rifga ko'ra, vektorning divergensiyasi , div belgisi bilan belgilanadi , quyidagi chegaraviy munosabat bilan ifodalanadi:
Bu erda S D V ni chegaralovchi yopiq sirt deb tushuniladi .
Kiritilgan kontseptsiyani tasvirlash uchun rasmga murojaat qilaylik. 3.3.
Faraz qilaylik, ko'rib chiqilayotgan holat uchun S orqali vektor oqimi F, F > 0 ga teng. Shu bilan birga, u S orqali chiqadigan kuch chiziqlari soni bilan o'lchanadi. Demak, (3.6) dagi chegaraga o'tish R nuqta atrofida S ni qisqarish orqali amalga oshirilsa (3.3a-rasm), undan kuch chiziqlari chiqadi, hajmi qanday kamaymasin, uning chegarasidan o`tuvchi oqim F ga teng bo`lib qoladi. D V → 0 chegarasida biz olamiz
Agar S ni qisqartirib, P nuqtani aylanib chiqsak (3.36-rasm), keyin, shu daqiqadan boshlab, DV ga kiradigan maydon chiziqlari soni chiquvchi chiziqlar soniga teng bo'ladi. Shuning uchun (3.6) dagi chegaraga o'tishni S ning R ga to'g'ri kelmaydigan har qanday nuqtaga qisqarishi sifatida tushunsak , biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
shunga o'xshash cho'kmaga ega bo'lgan maydonni ko'rib chiqsak (3.1-rasmga qarang ) . Haromlar dalalarida manbalar va lavabolar (3.1-rasm, c, d), nomuvofiqlik barcha nuqtalarda nolga teng. Nol divergentsiyaga ega bo'lgan maydonlar solenoidal deb ataladi ; ularning kuch chiziqlari hech qayerdan boshlanmaydi yoki tugamaydi: ular yopiq yoki cheksizlikka boradi (ular vektor maydoni berilgan hudud chegarasida ham tugashi mumkin).
Divergentsiya operatorining ta'rifidan uning fizik ma'nosi kelib chiqadi: bu fizik miqdorning tarqalishi, uning ajralib chiqishi.
3.3. Dekart koordinatalaridagi divergensiya. Divergensiyaning umumiy ta'rifidan (3.6) uning Dekart koordinata tizimidagi differentsial ifodasiga o'tish mumkin. Topish uchun bir nuqtada M ( x , y, z ) u orqali koordinata chiziqlarini o'tkazing va shaklda ko'rsatilganidek, tuzing. 3.5, elementar parallelepiped. Endi vektor oqimini hisoblashimiz kerak bu parallelepiped yuzasi orqali. Shubhasiz, to'liq F oqimini uchta qismga (F = F ₁ + F ₂ + F _{3 )} bo'lish mumkin , ularning har biri ikkita qarama-qarshi yuzga mos keladi. Shunday qilib , F ₁ yuz 1 va qarama-qarshi yuz 1 ' (rasmda ko'rinmaydi) orqali oqimdir . Yuz qanchalik kichik bo'lsa, oqimni hisoblashda integral (3.1) taxminiy ifoda bilan almashtirilishi shunchalik asoslanadi.
(D S - yuzning maydoni, u orqali oqim). Shunday qilib, biz yuzlarda 1 ekanligini hisobga olamiz va 1'- _ tashqi normalning birlik vektori mos ravishda teng va D S = D y Dz . Shunday qilib,

3.4. Ostrogradskiy- Gauss teoremasi.Xulosa qilib aytganda, Ostrogradskiy- Gauss teoremasining mazmuni bo'lgan muhim munosabatni olamiz. V hajmini hisobga olgan holda chegara yuzasi bilan S (3.6-rasm), biz uni elementlarga ajratamiz DV _{i Bu elementar hajmlarning} har biri shunchalik kichik bo'lishi mumkinki, DV _i ichidagi vektorning divergensiyasini taxminiy formula bilan aniqlashda xatolik.
( Mavjud (3.6) o'rniga inDV _{i ) ba'zi oldindan belgilangan qiymatdan kichik bo'ladi.} Shuning uchun bu haqiqat:
bu erda e - o'zboshimchalik bilan kichik musbat qiymat, unga ko'ra DV _i o'lchami tanlanadi .
Tengsizlik ( bilan ma'lumotlar e ) har bir element uchun qanoatlansa, biz i ustidan yig'amiz , bu hosil bo'ladi:
Haqiqat shundaki, qo'shni elementlarni ajratib turuvchi barcha ichki chegaralar ustidagi sirt integrallari DV _i bir-birini bekor qiladi: har bir umumiy chegarada (3.6-rasmga qarang) ikkita qo'shni element uchun normalar qarama-qarshidir. Demak, elementlar sirtining tashqi qismini tashkil etuvchi qismlarida faqat sirt integrallari qoladi chegara S. _