Сонлар кетма – кетлигини лимитини хисоблаш сони

Funksiya limitini o‘rganishdan

1 – ta’rif. Agar nuqtaning ixtiyoriy atorfida X to‘plamning cheksiz ko‘p elementlari yotsa, a nuqta katta X to‘plamning limit nuqtasi deyiladi. Masalan: to‘plam uchun O limit nuqtadir. Agar a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsa, u xolda X da a ga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin.

Haqiqatdan xam a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. U xolda a nuqtaning ixtiyoriy - atrofida X ning cheksiz ko‘p elementlari yotadi. ning nuqtalari uchun a nuqtaning - atroflarini qaraylik =1 uchun (a-1, a+1) oraliqda X to‘plamning cheksiz ko‘p elementlari yotadi. Bu atrofdan X to‘plamning elementini olamiz uchun a nuqtaning atrofidan X to‘plamining elementini olamiz va xakozo . Natijada ushbu ketma-ketlik xosil bo‘ladi. Bu ketma-ketlik uchun bo‘ladi. Bu tengsizlikdan {} ketma-ketlikning a nuqtaga yaqinlashishi kelib chiqadi.

Endi X to‘plamdan a ga yaqinlashuvchi {x_p} ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsin. U xolda yaqinlashuvchi ketma-ketlik ta’rifiga binoan a nuqtaning ixtiyoriy atrofida {x_p} ketma-ketlikning, jumladan X to‘plamning cheksiz ko‘p elementlari yotadi. Demak, ta’rifga ko‘ra a nuqta X to‘plam uchun limit nuqtasi bo‘ladi. Shunday qilib, X to‘plamning limit nuqtasi tushunchasini quyidagicha ta’riflash mumkin.

2 – ta’rif. Agar X to‘plamdan a ga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.

3 – ta’rif. Agar X to‘plamdan musbat elementlardan iborat (manfiy elementlardan iborat) cheksiz katta ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, “nuqta” X to‘plamning limit nuqtasi deyiladi.

f(x) funksiya X to‘plamda berilgan bo‘lib, a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. (Umuman aytganda a X to‘plamga tegishli bo‘lishi shart emas).

4 – ta’rif. Agar X to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan, yaqinlashuvchi xar qanday {x_n} ketma-ketlik olinganda ham, funksiya qiymatlaridan iborat {f(x_n)} ketma-ketlik yagona (chekli yoki cheksiz) v limit intilsa, shu v ga f(x) funksiyaning a nuqtadagi (x ning a ga intilgandagi) limiti deyiladi va

kabi belgilanadi. Funksiyaning limitiga berilgan ta’rif Geyne ta’rifi deyiladi.

Misollar. Ushbu funksiyaning x=2 nuqtadagi limiti 8 ga teng ekanligini ko‘rsating. Har bir hadi 2 dan farqli bo‘lgan 2 ga intiluvchi ixtiyoriy {x_n} ketma-ketlik olaylik.

U xolda

ketma-ketlikni xosil qilamiz. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida amallarga ko‘ra

bu esa 4-ta’rifga ko‘ra funksiyaning dagi limiti 8 ga tengligini bildiradi. Endi funksiya limitining yana bir ta’rifini keltiramiz.

5-ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki argument x ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa v son f(x) funksiyaning a nuqtada () limiti deyiladi va


kabi belgilanadi. Funksiya limitiga berilgan ushbu ta’rif koshi ta’rifi deyiladi.

Misol. funksiyaning nuqtadagi limiti ekanligini ko‘rsating.

sonni olaylik. Bu ga ko‘ra ni deb olsak, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi x larda quyidagi tengsizlik bajariladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.

1-teorema. Funksiya limiti uchun berilgan Geyne va Koshi ta’riflari o‘zaro ekvivalentdir.

Isbot.1) f(x) funksiya a nuqta 4-ta’rifga ko‘ra limitga ega bo‘lsin, ya’ni X to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan a ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik olinganda ham mos {f(x_n)} ketma-ketlik yagona v limitga intilsin. Biz shu v son funksiyaning x=a nuqtada 5-ta’rifga ko‘ra ham limiti bo‘lishini ko‘rsatamiz.

Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni f(x) funksiya x=a nuqtada 4-ta’rifga ko‘ra v limitga ega bo‘lsa xam, funksiya shu nuqta 5-ta’rifga ko‘ra vlimitga ega bo‘lsin. Unda biror son uchun ixtiyoriy kichik musbat son olinganda xam argument x ning tengsizligini qanoatlantiradigan biror x₁ qiymatida bo‘ladi.Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi (_n) ni olaylik. U xolda yuqoridagiga ko‘ra xar bir uchun x argumentning tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday qiymati topiladiki va bo‘ladi. Ammo dan bo‘lishi, bundan esa 4-ta’rifga ko‘ra v limitga ega bo‘lishidan uning shu nuqtada 5-ta’rifga ko‘ra ham v limitga ega bo‘lishi kelib chiqadi.

2) f(x) funksiya 2-ta’rifga ko‘ra limitga limitga ega bo‘lsin, ya’ni son uchun shunday son topiladiki, tengsizliklar bajarilganda tengsizlik xam o‘rinli bo‘ladi.

X to‘plamning nuqtalaridan tuzilgan har bir hadi a dan farqli va a ga intiluvchi ixtiyoriy {x_n} ketma-ketlik olaylik

Sonlar ketma-ketligi limitining ta’rifiga ko‘ra, yuqoridagi uchun shunday son topiladiki, barcha lar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Natijada munosabatga ko‘ra tengsizliklar kelib chiqadi.

Bu tengsizliklardan esa 5-ta’rifga ko‘ra tengsizlik kelib chiqadi. Demak, va bo‘ladi.

Biz yuqoridagi f(x) funksiya dagi chekli v limitga ega bo‘lishning Koshi ta’rifini keltirdik. bo‘lgan holda funksiya limitining Koshi ta’rifi quyidagicha ifodalanadi.

6-ta’rif. Agar son uchun shunday son topiladiki x argumentning tengsiliklarni qanoantlantiruvchi barcha qiymatlarida



tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti deiladi va

kabi belgilanadi.

Yendi f (x) funksiyaning a nuqtadagi o‘ng va chap limitdlari tushunchalarini kiritamiz.