Sonli qator va uning yig‘indisi Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari Qator yaqinlashishining zaruriy sharti

Sonli qatorlar va ularning yaqinlashish tushunchasi.

Reja

1. 
   Sonli qator va uning yig‘indisi
   
2. 
   Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari
   
3. 
   Qator yaqinlashishining zaruriy sharti
   
4. 
   Qator yaqinlashishining Koshi kriteriyasi
   

Tayanch so’z va iboralar: yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari: Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va uning yig‘indisi. Qatorning qoldig‘i. Geometrik qator. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Garmonik qator. Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari. Koshi kriteriyasi

1. 
   Sonli qator va uning yig‘indisi. Faraz qilaylik sonlarning biror cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin:
   

Bu sonlardan tuzilgan ushbu

ifodaga cheksiz qator ( qisqacha – qator ) deyiladi.

{a_n} ketma-ketlik hadlari qatorning hadlari deyiladi. (1) ifodada + belgisi qatnashganligi sababli qatorni ko‘rinishda ham yoziladi. Agar n tayinlangan bo‘lsa, a_n- qatorning n-hadi deyiladi, agar n umumiy holda berilsa, a_n- qatorning umumiy hadi deyiladi. Umumiy had yordamida berilgan qatorning ixtiyoriy hadini yozib olish mumkin. Masalan, agar bo‘lsa, u holda qator

yoki

ko‘rinishda bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda quyidagi ko‘rinishdagi qatorga ega bo‘lamiz:

yoki .

(1) qatorning birinchi n ta hadi yig‘indisini qaraymiz va uni orqali belgilaymiz:

Bu yig‘indini (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi deyiladi. Bunda S₁ deganda a₁ ni qarashga kelishamiz.

(2) da n ga 1, 2, 3, … qiymatlar berib, quyidagi xususiy yig‘indilar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz:

.

Yuqoridagi {S_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin.

Ta’rif. Agar (2) qatorning xususiy yig‘indilari ketma-ketligi {} chekli limitga ega bo‘lsa, ya’ni mavjud bo‘lsa, u holda bu qator yaqinlashuvchi qator deyiladi. {} ketma-ketlik limiti

(2)

qatorning yig‘indisi deyiladi.

Bu holda

yoki kabi yoziladi.

Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda uzoqlashuvchi qator deyiladi.

Agar bo‘lsa, u holda yoki kabi yozishga kelishamiz.

Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish) natijasida hosil qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun kerak bo‘ladi.

Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz.

1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:

.

Yechish. Berilgan qatorning n-xususiy yig‘indisi

. Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz. U holda

=

= bo‘ladi. Ravshanki, {S_n} ketma-ketlik limiti mavjud va ga teng. Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uni =, yoki = kabi yozish mumkin ekan.

2-misol. Umumiy hadi bo‘lgan qatorni yaqinlashishga tekshiring.

Yechish. Bu qatorning n-xususiy yig‘indisi ga teng. Xususiy yig‘indilar ketma-ketligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

1, 0, 1, 0, ...

Ma’lumki, bu ketma-ketlik chekli limitga ega emas. Demak, qator uzoqlashuvchi ekan.

Qatorga eng sodda misol sifatida geometrik progressiya barcha hadlarining yig‘indisini olishimiz mumkin:

(3)

bunda a0. Bu qator geometrik qator deyiladi. Geometrik qator q ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo‘lishini aniqlaymiz. Buning uchun uning n-xususiy yig‘indisini qaraymiz. Geometrik progressiya birinchi n ta hadi yig‘indisining formulasiga ko‘ra (q1)

o‘rinli. Agar q<1 bo‘lsa, u holda bo‘lib, mavjud va bo‘ladi. Demak, q<1 bo‘lganda (3) qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi bo‘ladi.

Agar |q|>1 bo‘lsa, u holda va = bo‘ladi. Demak, bu holda geometrik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=-1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi bo‘ladi. Bu holda xususiy yig‘indilar ketma-ketligi uzoqlashuvchi, demak (3) qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar q=1 bo‘lsa, qatorning xususiy yig‘indisi S_n=a+a+…a=na va = bo‘ladi.

Shunday qilib, geometrik qator q<1 bo‘lganda yaqinlashuvchi, |q|1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Yaqinlashuvchi bo‘lgan holda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisining formulasi hosil bo‘ladi:

=