Sonli qatorlar. Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartlari

Teorema. (Dalaber alomati) Agar musbat hadli

qator (n+1) hadining n chi hadiga nisbati da L (chekli) limitiga ega boʻlsa, yaʼni

boʻlsa, u vaqtda:
1)L<1 boʻlgan holda qator yaqinlashadi
2)L>1 boʻlgan holda qator uzoqlashadi
3)L-1 boʻlgan holda qator yaqinlashishi yoki uzoqlashishi boshqa mavjud alomatlar orqali teshiriladi.
Misol.

Yechish :

boʻlgani uchun Dalamber usuliga asosan berilgan sonli qator yaqinlashadi.

Misol. .

Yechish. Bu qatorning umumiy hadi , keyingi hadi . Dalamber alomatiga asosan

boʻlgani uchun berilgan qator yaqinlashuvchi boʻladi.
Misol. .
Yechish. Bu yerda , . Dalamber alomatiga asosan

boʻlgani uchun berilgan qator uzoqlashuvchi.
Koshi belgisi.
Ushbu qator uchun mavjud boʻlsa, C>1 da qator yaqinlashuvchi, C<1 da qator uzoqlashuvchi boʻladi.
Misol. .
Yechish. Koshining radikal alomatiga koʻra

boʻlgani uchun qator yaqinlashuvchi.
Integral belgisi.
Teorema. Ushbu u₁+u₂+u₃+… +u_n+... qatorning hadlari musbut, lekin oʻsuvchi boʻlmasin, ya'ni

va f(x) slumduy oʻsmaydigan uzluksiz funkstiya boʻlib,
f(l)=u_1, f(2)=u₂ , ... ,f/(n)=u_n
Bu holda quyidagi davolar oʻrmlidir:
Agar 1) hosmas integral yaqinIashsa (I) qator ham yaqinlashadi
Agar bu integral iizoqtashsa qator ham uzoqlashadi,
Misol. (Dirixle qatori) qatorni yaqinlashishga tekshiring.
Yechish. Qatorni yaqinlashishga tekshirish uchun Koshining integral alomatidan foydalanamiz.
deb olib, ushbu xosmas integralni tekshiramiz.


Demak, xosmas integral da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi . Koshining integral alomatiga koʻra qator da yaqinlashuvchi, da uzoqlashuvchi boʻladi. boʻlganda garmonik qator hosil boʻladi.
Misol. Kasrlarni yaqinlashishini tekshiring.
Yechish:


Xosmas integral yaqinlashuvchi boʻlgani uchiun berilgan sonli qator ham yaqinlashuvchidir.

Ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvining Leybnits belgisi.

Hadlarning ishoralari turlicha boʻlgan qator oʻzgaruvchi ishorali qator deyiladi. Qatorninh har bir musbat hadidan keyin manfiy had va har bir manfiy hadidan keyinmusbat had kelsa, bunday qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi. Ishorasi navbatlashuvchi qatorni bunday yozish mumkin.

Leybnits alomati. Agar ishoralari navbatlashuvchi qatorda qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya’ni

boʻlib, uning umumiy hadi nloga intilsa: , u holda bu qator yaqinlashuvchi boʻladi va uning yigʻindisi S ushbu shartni qanoatlantiradi.
Isorasi navbatlashuvchi qator qoldigʻi tengsizlik bilan baholanadi.
Misol. Ushbu
qatorning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish. Berilgan qator uchun Leybnits alomatini shartlari bajarilayapti, ya’ni


Shu sababli qator yaqinlashuvchi.
Quyidagi misollarda ishoralari almashinuvchi qatorlarning absolyut, shartli yaqinlashishi yoki uzoqlashishini tekshiring.
Misol. .
Yechish. Berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlaridan yangi qator tuzamiz

va bu qatorni qator bilan taqqoslaymiz. Ma’lumki . Geometrik qator yaqinlashuvchi boʻlgani uchun, musbat hadli qatorlarni solishtirish alomatiga koʻra qator yaqinlashuvchi boʻladi. Demak, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchidir.