Sonli qatorlar va ularning yaqinlashishi

3) Koshi belgisi.

musbat hadli qator berilgan bo‘lib,

limit mavjud va  bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi; bo‘lsa, qator uzoqlashuvchi; bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi ham, uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin, bu holda Koshi belgisi savolga javob bermaydi.

5-misol.

qator yaqinlashishini tekshiring.

Yechish. Koshi belgisidan

Shunday qilib, berilgan qator Koshi belgisiga asosan yaqinlashuvchi bo‘ladi.

4) Qator yaqinlashishining integral belgisi

musbat hadli qator berilgan bo‘lsin. natural argumentli funksiya tuzamiz. uzluksiz, musbat va kamayuvchi funksiya bo‘lsin.

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, berilgan qator ham yaqinlashuvchi, xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
6-misol.
qator yaqinlashishini tekshiring.
Yechish. funksiyani tuzib, ushbu xosmas integralni hisoblaymiz:

Demak, xosmas integral yaqinlashuvchi, integral belgiga asosan, tekshirilayotgan qator ham yaqinlashuvchidir.
7-misol.
garmonik qator yaqinlashishini tekshiring.
Yechish. bo‘lganligi uchun

.
Demak, xosmas integral uzoqlashuvchi, integral belgiga asosan, garmonik qator ham uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
5. Ishoralari almashinuvchi qatorlar(Leybnis qatori).
Ishoralari har xil bo‘lgan qatorlarga o‘zgaruvchan ishorali qatorlar deyiladi.
O‘zgaruvchan ishorali qatorlarning xususiy holi ishoralari navbat bilan almashinuvchi qatorlardir.
Masalan,
qator birinchi hadi musbat bo‘lgan ishoralari navbat bilan almashinuvchi qatordir.
Ishoralari navbat bilan almashinuvchi qatorlar yaqinlashishini Leybnis belgisi bilan tekshiriladi.
Ishoralari navbat bilan almashinuvchi
(5)
qator berilgan bo‘lsin. Bu yerda  musbat sonlar.
Leybnis belgisi. Ishoralari navbat bilan almashinuvchi qator hadlari absolyut qiymati bo‘yicha kamayuvchi, yaʼni 
1) va
2) umumiy hadining dagi limiti no‘lga teng, yaʼni bo‘lsa, ishoralari navbat bilan almashinuvchi (5) qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi birinchi haddan katta bo‘lmaydi. Bu shartlardan birontasi bajarilmasa qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
8 –misol.
qator yaqinlashishini tekshiring.
Yechish. Leybnis belgisi shartlarini tekshiramiz: 
1) 1)
2)

. Demak, Leybnis belgisining ikkala sharti ham bajariladi. Shunday qilib, berilgan qator Leybnis belgisiga asosan, qator yaqinlashuvchi.
9-misol.
qator yaqinlashishini tekshiring.
Yechsih:
birinchi shart bajariladi. Lekin bo‘lib,
,
Leybnis belgisining ikkinchi sharti bajarilmaydi. Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
Qatorlar nazariyasidan taqribiy hisoblashlarda keng qo‘llaniladi. Taqribiy hisoblashlarda yo‘l qo‘yilgan xatolikni baholash katta amaliy ahamiyatga ega. Ishoralari navbatlashuvchi qatorlarda xatolik, hisobga olinmayotgan birinchi had absolyut qiymatidan katta bo‘lmaydi, yaʼni


.
10-misol.

ni 0,1 aniqlikda taqribiy hisoblang.

Yechish: Shartga asosan bo‘lishi kerak.

Bunda gacha aniqlikda hisoblandi.
Endi o‘zgaruvchan ishorali qatorlarning ayrim xossalarini qaraymiz.