Sonli qatorlar. Yaqinlashuvchi qatorlar ta’rifi va xossalari Tayanch so’z va iboralar

Sonli qatorlar. Yaqinlashuvchi qatorlar ta’rifi va xossalari
Tayanch so’z va iboralar: yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari: Sonli qator tushunchasi, yaqinlashuvchi qator va uning yig‘indisi. Qatorning qoldig‘i. Geometrik qator. Qator yaqinlashishining zaruriy sharti. Garmonik qator. Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari. Koshi kriteriyasi.

Reja

1. 
   Sonli qator va uning yig‘indisi
   
2. 
   Yaqinlashuvchi qatorlarning sodda xossalari
   
3. 
   Qator yaqinlashishining zaruriy sharti
   
4. 
   Qator yaqinlashishining Koshi kriteriyasi
   

1. 
   Sonli qator va uning yig‘indisi. Faraz qilaylik sonlarning biror cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin:
   

Bu sonlardan tuzilgan ushbu

ifodaga cheksiz qator ( qisqacha – qator ) deyiladi.

{a_n} ketma-ketlik hadlari qatorning hadlari deyiladi. (1) ifodada + belgisi qatnashganligi sababli qatorni ko‘rinishda ham yoziladi. Agar n tayinlangan bo‘lsa, a_n- qatorning n-hadi deyiladi, agar n umumiy holda berilsa, a_n- qatorning umumiy hadi deyiladi. Umumiy had yordamida berilgan qatorning ixtiyoriy hadini yozib olish mumkin. Masalan, agar bo‘lsa, u holda qator

yoki

ko‘rinishda bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda quyidagi ko‘rinishdagi qatorga ega bo‘lamiz:

yoki .

(1) qatorning birinchi n ta hadi yig‘indisini qaraymiz va uni orqali belgilaymiz:

Bu yig‘indini (1) qatorning n-xususiy yig‘indisi deyiladi. Bunda S₁ deganda a₁ ni qarashga kelishamiz.

(2) da n ga 1, 2, 3, … qiymatlar berib, quyidagi xususiy yig‘indilar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz:

.

Yuqoridagi {S_n} ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin.

Ta’rif. Agar (2) qatorning xususiy yig‘indilari ketma-ketligi {} chekli limitga ega bo‘lsa, ya’ni mavjud bo‘lsa, u holda bu qator yaqinlashuvchi qator deyiladi. {} ketma-ketlik limiti

(2)

qatorning yig‘indisi deyiladi.

Bu holda

yoki kabi yoziladi.

Agar qatorning xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda uzoqlashuvchi qator deyiladi.

Agar bo‘lsa, u holda yoki kabi yozishga kelishamiz.

Shunday qilib, qator yig‘indisi ikkita amal (qo‘shish va limitga o‘tish) natijasida hosil qilinadi. Qo‘shish amali xususiy yig‘indilarni, ikkinchi amal esa ularning limitini topish uchun kerak bo‘ladi.

Yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi qatorlarga misollar ko‘ramiz.

1-misol. Ushbu qatorni yaqinlashishga tekshiring:

.

Yechish. Berilgan qatorning n-xususiy yig‘indisi

. Bu yig‘indini soddalashtirish maqsadida qatorning n-hadini quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz. U holda