Статистическая оценка параметров распределений

Существует несколько методов решения задачи точечной оценки параметров, наиболее часто применяются методы моментов и максимального (наибольшего) правдоподобия

• Существует несколько методов решения задачи точечной оценки параметров, наиболее часто применяются методы моментов и максимального (наибольшего) правдоподобия

Метод моментов для точечной оценки параметров распределения

• Состоит в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же порядка (К. Пирсон, 1894 г. )
• Оценка одного параметра
• Пусть задан вид плотности распределения вероятности f(x, Θ), определяемый одним неизвестным параметром Θ.
• -уравнение с одним неизвестным Θ. Решив его, найдем точечную оценку Θn, которая является функцией от выборочной средней, следовательно, и от вариант выборки:
• Θn=(х1,…,хn)

Пример:

• Найти методом моментов по выборке (х1,…,хn) точечную оценку неизвестного параметра λ показательного распределения:
• f(x)= λe- λx (x0)
• Решение: Приравниваем начальный теоретический момент 1 порядка эмпирическому начальному моменту 1 порядка:
• Отсюда
• Точечная оценка параметра λ показательного распределения равна величине, обратной выборочной средней

Оценка двух параметров

• Оценка двух параметров
• Задана функция плотности распределения, определяемая двумя неизвестными параметрами f(x, Θ1, Θ2). Необходимо составить два уравнения относительно этих параметров. Приравняем начальный теоретический момент 1 порядка эмпирическому начальному моменту 1 порядка и центральный теоретический момент 2 порядка центральному эмпирическому моменту 2 порядка:
• 1=M(x) μ2=m2=D(x)

• M(x) и D(X) – функции от Θ1, Θ2. Поэтому получили систему с двумя неизвестными. Решив эту систему получим точечные оценки Θ1т, Θ2т, являющиеся функциями вариант выборки:
• Θ1n=1(х1,…,хn)
• Θ2n=2(х1,…,хn)