Степенные ряды и их сходимости

На тему: Степенные ряды и их сходимости

Выполнил(а): Хурамов Асадбек

Проверил(а): Зулфия Самиевна

Самарканд – 2023
ПЛАН:
Введение
1. Степенные ряды
2. Практическая часть
Заключение
Список литературы
Введение

Ряды – важный аппарат математического анализа, дающий возможность решения многих вопросов, как самого анализа так и его приложений. Вычисление интегралов, не выражающихся через элементарные функции, интегрирование дифференциальных уравнений, составление таблиц логарифмов и тригонометрических функций, представление функций, характеризующих сложные явления, в виде суммы простых гармонических колебаний – таковы примеры задач, использующих аппарат рядов.

Одним из отличительных свойств, степенных рядов является то, что их члены являются сравнительно простыми функциями; частичные суммы степенного ряда представляют собой многочлены от . Относительная простота функций , служит причиной многих свойств, присущих степенным рядам, которыми не обладают, вообще говоря, другие функциональные ряды. Если степенной ряд сходится к некоторой функции , то эта функция с большой степенью точности может быть приближена частичной суммой ряда , т.е. многочленом. Изучение функции с помощью исследования ее приближения – многочлена – является одним из самых важных методов дифференциального исчисления.
1. Степенные ряды

Среди функциональных рядов особо выделяют важнейший класс так называемых степенных рядов, имеющих большие приложения. Функциональный ряд вида

. (1)
где C0, C1, C2…, Cn. – постоянные коэффициенты, называется степенным. В дальнейшем коэффициенты будем считать действительными числами. Всякий степенной ряд (1) всегда сходится, по крайней мере, в одной точке x=0. Действительно, при x=0 все члены ряда (1), кроме, быть может с, обращаются в нуль; поэтому ряд сходится и имеет сумму, равную c0. Наряду степенными рядами вида (1) рассматривают также степенные ряды более общего вида:

(А) Однако последние x-a=x^’ сводятся к рядам вида (1): = . Таким образом, изучив свойства степенных рядов (1) мы, с помощью указанной подстановки, сможем перенести их свойства и на ряды вида (А). Основоположной в теории степенных рядов является так называемая: Теорема Абеля. 1.1) Если степенной ряд . сходится при , то он сходится, и притом абсолютно, для всех , удовлетворяющих условию
2) если ряд расходится при , то он расходится для всех , удовлетворяющих условию .
I. Пусть степенной ряд сходится, при х=х0. Фиксируем ряд любое x, для которого . Так как ряд сходится по условию, то в силу необходимого признака, сходимости с_nxⁿ₀→0 при n→∞. А осюда, в силу теоремы об ограниченности сходящейся последовательности, следует ограниченность общего члена данного ряда, то есть следует существование числа М >0 такого, что для любого n: Ic_nxⁿ₀InxⁿI= Ic_nxⁿ₀I <Мqⁿ (А) Здесь положено =q<1. Так как ряд с общим членом Мqⁿ сходится как геометрическая прогрессия (со знаменателем 0 f(x)=f(a)+ (x-a)+… + +… (3)