Suyuqliklar dinamikasi. Bernulli tenglamasi

SUYUQLIKLAR DINAMIKASI. BERNULLI TENGLAMASI


Reja:
1. Qovushqoq suyuqliklarda ichki kuchlar. Nave – Stoks tenglamasi.
2. Elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasi.
3.Bernulli tenglamasining geometrik, energetik va fizik mazmunlari.
1. Qovushqoq suyuqliklarda ichki kuchlar. Nave – Stoks tenglamasi.

R eal suyuqliklarda gidrodinamik bosim mavjud bo’lib, harakat yo’q bo’lgan holda u gidrostatik bosimiga aylanadi. Gidrodinamik bosimning xossalari gidrostatik bosim xossalariga qaraganda umumiyrokdir. Gidrodinamik bosim suyuqlikdagi ichki kuchlarni ifodalovchi va zo’riqish kuchlari deb ataluvchi kuchlar tarkibiga kiradi. Suyuqlik ichida joylashgan biror elementar hajmni ko’zlasak, o’nga tashqaridagi suyuqlik massasi ma‘lum bir kuch bilan ta‘sir qiladi. Ana shu kuch zo’riqish kuchi deyiladi. Bu kuchni to’laroq tasavvur qilish uchun tomonlari dx, dy, dz ga teng bo’lgan tetraedr ko’rinishdai elementar hajm ajratib olamiz (5.1-rasm). U holda tetraedrning qiya sirtiga tashqaridagi suyuqlik P_n kuch bilan ta‘sir qiladi. Olingan elementar hajm harakat vaqtida o’z holatini saqlab qolishi uchun o’nga teng ta‘sir etuvchisi P_n kuchiga teng va qarama-qarshi yo’nalgan quyidagi uchta kuch ta‘sir qiladi: tetraedrning yOz tekislikda yotgan yuzasi bo’yicha Р_х kuchi, хОz tekislikda yotgan yuzasi bo’yicha Р_у kuchi; хОу tekisligida yotgan yuzasi bo’yicha Р_z kuchi.

Bu kuchlarning har biri x, u, va z o’qlari bo’yicha proeksiyaga ega:


P_x (P_xx, P_xy, P_xz)}
P_у (P_уx, P_уy, P_уz)}
P_z (P_zx, P_zy, P_zz)}

Shunday qilib, Р kuchni 9 ta kuch bilan almashtirish mumkin bo’ladi. Bunday xususiyatga ega bo’lgan kattaliklar tenzorlar deb ataladi va quyidagicha yoziladi:

(1)

Bu kuchlardan 3 tasi Р_хх,, Р_уу,, Р_zz tetraedr yon sirtlariga normal bo’yicha yo’nalgan bo’lib, ular zo’riqish tenzorining normal tashkil etuvchilari deyiladi. Tenzorning qolgan 6 ta tashkil etuvchisi sirtlarga urinma bo’yicha yo’nalgan bo’lib, zo’riqish tenzorining urinma tashkil etuvchilari deyiladi. Urinma tashkil etuvchilar quyidagi xossaga ega bo’ladi:

Р_ху = Р_ух; Р_хz = Р_zх; Р_уz = Р_zу

Shuning uchun, P tenzori simmetrik tenzor deb ataladi. Bu xossaning isboti maxsus kurslarda keltirilgan bo’lib, biz u to’g’risida to’xtalib o’tirmaymiz. Shuningdek, tenzorning komponentlarini tushuntirishlarsiz, tezlik va qovushqoqlik koeffisienti orqali ifodasini keltiramiz.

(2)

bu Еrda Р – gidrodinamik bosim.

Bu ifoda umumlashgan Nyuton gepotezasi deb ataladi. Bu holda avvalgi mavzularda aytganimizdek harakat tenglamasini tuzish mumkin bo’ladi. Tomonlari dx, dy, dz ga teng bo’lgan parallelipiped ko’rinishdagi elementar hajm olsak (5.2-rasm) u holda Ох, Оу, Оz yo’nlishida og’irlik va inersiya kuchlarini olganimizda, uchta kuch ta‘sir qiladi:

Ох бo’йича P_xx , P_yx , P_zx

Oy бo’йича P_xy , P_yy , P_zy
Oz бo’йича P_xz , P_yz , P_zz

Demak parallelipipedning (5.2-rasm) Ох o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha ta‘sir qiluvchi kuchlarning teng ta‘sir etuvchisi quyidagiga teng:

Оу o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha

Оz o’qiga tik bo’lgan yon yoqlari bo’yicha

Dalamber prinsipidan foydalanib harakat tenglamasini tuzamiz u quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

,
(3)
.

Olingan tenglamaga (4.11), (4.12), (4.13) va (4.14) munosabatlarni kirisak, real suyuqliklarning harakat tenglamasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

,
, (4)
.
Bu hosil bo’lgan tenglamalar sistemasi real suyuqliklar uchun Nave–Stoks tenglamasi deyiladi. U uchta tenglamadan iborat bo’lib, noma‘lumlar soni to’rtta; U_x, U_y, U_z, Р. Shuning uchun real suyuqliklar harakatini tekshirishda bu sistemaga (4.8) tenglama qo’shib Еchiladi.