Tanlamaning statistik taqsimotini geometrik izohlash Reja

Tanlamaning statistik taqsimotini geometrik izohlash


Reja:

1. 
   Tanlanmaning statistik taqsimoti
   
2. 
   Taqsimotning geometrik funksiyasi
   
3. 
   tanlanmaning chastotalari
   

Tasodifiy hodisalar ustida oʻtkaziladigan kuzatish natijalariga asoslanib, ommaviy tasodifiy hodisalar boʻysunadigan qonuniyatlarni aniqlash mumkin. Matematik statistikaning asosiy vazifasi kuzatish natijalarini (statistik maʻlumotlarni) toʻplash, ularni guruhlarga ajratish va qoʻyilgan masalaga muvofiq ravishda bu natijalarni tahlil qilish usullarini koʻrsatishdan iborat.

Biror X tasodifiy miqdor F(x) taqsimot funksiyasiga ega deylik. X tasodifiy miqdor ustida oʻtkazilgan n ta tajriba (kuzatish) natijasida olin-gan qiymatlar toʻplamiga n hajmli tanlanma deyiladi, qiymatlarni bir-biriga bogʻliq boʻlmagan va X tasodifiy miqdor bilan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar deb qarash mumkin. Baʻzan tanlanma F(x) nazariy taqsimot funksiyaga ega boʻlgan X bosh toʻplamdan olingan deb ham ataladi.
Bosh toʻplamdan tanlanma olingan boʻlsin. Birorta x₁ qiymat marta, qiymat marta va hokazo kuzatilgan hamda

boʻlsin. Kuzatilgan qiymatlar variantalar, kuzatishlar soni chastotalar deyiladi. Kuzatishlar sonining tanlanma hajmiga nisbatini

nisbiy chastotalar deyiladi.
Tanlanmaning statistik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar roʻyxatiga aytiladi.
Shunday qilib, taqsimot deyilganda ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdorning mumkin boʻlgan qiymatlari va ularning ehtimollari orasidagi moslik, matematik statistikada esa kuzatilgan variantalar va ularning chastotalari yoki nisbiy chastotalari orasidagi moslik tushuniladi.
Aytaylik, X son belgi chastotalarining statistik taqsimoti maʻlum boʻlsin. Quyidagi belgilashlar kiritamiz: -belgining x dan kichik qiymati kuzatilgan kuzatishlar soni; n – kuzatishlarning umumiy soni.
Taqsimotning empirik funksiyasi (tanlanmaning taqsimot funksiyasi) deb har bir x qiymati uchun (X
Bu yerda: – x dan kichik variantalar soni, n – tanlanma hajmi.
Xossalari: 1) Emperik funksiyaning qiymatlari [0; 1] kesmaga tegishli.
2) kamaymaydigan funksiya.
3) Agar x₁ eng kichik varianta, x_k esa eng kata variant boʻlsa, u holda boʻlganda =0, x>x_k boʻlganda =1 boʻladi.

Tanlanmaning statistik taqsimotini koʻrgazmali tasvirlash hamda kuzatilayotgan X belgining taqsimot qonuni haqida xulosalar qilish uchun poligon va gistogrammadan foydalaniladi.

Chastotalar poligoni deb kesmalari , … ( nuqtalarni tutashtiradigan siniq chiziqqa aytiladi. Bu yerda – tanlanma variantalari, – mos chastotalar.
Nisbiy chastotalar poligoni deb kesmalari , … ( nuqtalarni tutashtiradigan chiziqqa aytiladi, bu yerda x_i – tanlanma variantalari, W_i –ularga mos nisbiy chastotalar.
Chastotalar gistogrammasi deb asoslari h uzunlikdagi oraliqlar, balandliklari esa (chastota zichligi) nisbatlarga teng boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchaklardan iborat pogʻonali figuraga aytiladi.
Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb asoslari h uzunlikdagi oraliqlar balandliklari esa (nisbiy chastota zichligi) nisbatlarga teng boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchaklardan iborat pogʻonali figuraga aytiladi.
291-misol. Hajmi 30 boʻlgan tanlanmaning chastotalari taqsimoti berilgan.

	2	8	16
	10	15	5

Nisbiy chastotalar taqsimotini tuzing.
Yechish: Nisbiy chastotalarni topamiz. Buning uchun chastotalarni tanlama hajmiga boʻlamiz.

u holda, nisbiy chastotalar taqsimoti

	2	8	16

292-misol. Quyidagi taqsimot qatori bilan berilgan tanlanmaning empirik taqsimot funksiyasini tuzing va grafigini chizing.

	1	4	6
	10	15	25

Yechish:


U holda, nisbiy chastotalar empirik taqsimoti

	1	4	6
	0.2	0.3	0.5

Empirik taqsimot funksiya quyidagi koʻrinishda boʻladi.

Topilgan qiymatlar asosida grafikni yasaymiz.
293-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti boʻyicha chastotalar va nisbiy chastotalar poligonlarini chizing.

	1	2	4	5	8
	5	10	15	7	3

Yechish: n=5+10+15+7+3=40 tanlanma hajmi. Chastotalar poligoni quyidagi koʻrinishda boʻladi.



Nisbiy chastotalarni topamiz.
; ; ; ; ;

	1	2	4	5	8

U holda, nisbiy chastotalarni poligoni quyidagi koʻrinishda boʻladi.

294-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti boʻyicha chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammalarini chizing.

Interval nomeri	Qism interval	Intervaldagi variantalar chastotalari yigʻindisi	Chastotalar zichligi	Nisbiy chastotalar	Nisbiy chastotalar zichligi
I			/h		/h
1	5–10	2	0.4
2	10–15	6	1.2
3	15–20	12	2.4
4	20–25	10	2

Chastotalar gistogrammasi quyidagi koʻrinishda boʻladi.

Nisbiy chastotalar gistogrammasi esa quyidagi koʻrinishda boʻladi.

295. Quyidagi tanlanma berilgan.

2, 1, 3, 3, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 2, 2, 3.

1. 
   Variatsion qatorni tuzing.
   
2. 
   Chastotalar jadvalini tuzing.
   

v) Nisbiy chastotalar poligonini chizing. 296. Korxona ishchilaridan tavakkaliga 20 tasi tanlanib, ularning tarif razryadlari haqida quyidagi maʻlumotlar olingan.
1, 2, 4, 6, 3, 4, 4, 2, 6, 3, 5, 3, 3, 1, 5, 4, 2, 5, 4, 3.
Shu maʻlumotlarga asoslangan holda:

1. 
   Tanlanmaning statistik taqsimotini tuzing va chastotalar poligonini yasang.
   
2. 
   Empirik taqsimot funksiyasini tuzing.
   

297. Tanlanma

	4	7	8	12
	5	2	3	10

chastotalar taqsimoti koʻrinishda berilgan. Nisbiy chastotalar taqsimo-tini toping.
298. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha uning empirik funksiyasini toping.

	1	4	6
	10	15	25

299. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha chastota-lar poligonini yasang.

	2	3	5	6
	10	15	5	20

300. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha nisbiy chastotalar poligonini yasang.

	2	4	5	7	10
	0.15	0.2	0.1	0.1	0.45

301. Quyidagi maʻlumotlar asosida empirik funksiyasini toping.

	4	7	8
	5	2	3

302. Chastotalar poligonini yasang.

	15	20	25	30	10
	10	15	30	20	25

303. Nisbiy chastotalar poligonini yasang.

	20	40	65	80
	0.1	0.2	0.3	0.4

304. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha chastotalar gistogrammasini yasang.

Interval roʻyxati	Qism interval	Intervaldagi variantalar chastotalarining yigʻindisi	Chastota zichligi
I
1	2–7	5
2	7–12	10
3	12–17	25
4	17–22	6
5	22–27	4

305. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha chastotalar gistogrammasini yasang.

Interval roʻyxati	Qism interval	Qism intervaldagi variantalar chastotalarining yigʻindisi
I
1	0–2	20
2	2–4	30
3	4–6	50

306.Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha chastotalar gistogrammasini yasang.

Interval roʻyxati	Qism interval	Qism intervaldagi variantalar chastotalarining yigʻindisi
I
1	2–5	6
2	5–8	10
3	8–11	4
4	11–14	5

307. Tanlanmaning quyidagi berilgan taqsimoti boʻyicha chastota-lar poligonini yasang.

	1	4	5	8	9
	0.15	0.25	0.3	0.2	0.1

308. Quyidagi maʻlumotlar asosida empirik funksiyani toping.

	2	5	7
ni	3	2	5

309. Nisbiy chastotalar poligonini yasang.

	5	10	12	20
	0.1	0.2	0.3	0.4

310. Tanlanma

	3	7	8	10
	5	2	3	10

chastotalar taqsimotini koʻrinishida berilgan. Empirik taqsimot funksiya-ni toping va grafigini chizing.

Bosh toʻplamdan tanlanma olingan boʻlsin. Bunda qiymat marta, qiymat marta, ... , qiymat esa marta kuza-tilgan boʻlsin va h.k.; tanlanmaning hajmi boʻlsin.
Kuzatilgan qiymatlar variantalar, variantalarning oʻsib borish tartibida yozilgan ketma-ketligi variatsiyaviy qator deb ataladi. kuzatishlar sonlari chastotalar, ularning tanlanma hajmiga nisbatlari nisbiy chastotalar deyiladi.
Tanlanmaning statistik taqsimoti deb variantalar va ularga mos chastotalar yoki nisbiy chastotalar roʻyxatiga aytiladi. Statistik taqsimotni oraliqlar va ularga mos chastotalarning ket-ma-ketligi koʻrinishida ham berish mumkin. Bu holda oraliqqa mos chastota sifatida shu oraliqqa tushgan chastotalar yigʻindisi qabul qilinadi. Bunda chastotalar yigʻindisi tanlanma hajmiga, nisbiy chastotalar yigʻindisi esa birga teng boʻlishi kerak.
Taqsimot deyilganda ehtimollar nazariyasida tasodifiy miq-dorning mumkin boʻlgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari orasidagi moslik, matematik statistikada esa kuzatilayotgan vari-antalar va ularning chastotalari (nisbiy chastotalari) orasidagi moslik tushuniladi.
1-misol. Hajmi boʻlgan tanlanmaning chastotalari taqsimoti berilgan:
11.1 – j a d v a l

	3	5	10
	7	8	5

Nisbiy chastotalar taqsimoti yozilsin.

Yechish. Chastotalarni tanlanma hajmiga boʻlib, nisbiy chas-totalarni topamiz:
, , .
Nisbiy chastotalar taqsimotini yozamiz:
11.2 – j a d v a l

	3	5	10
	0,35	0,4	0,25

N a z o r a t: 0,35 + 0,4 + 0,25 = 1.

X miqdoriy belgi chastotalarining statistik taqsimoti maʼ-lum boʻlsin. orqali belgining x dan kichik qiymatlari kuzatil-gan kuzatishlar sonini, orqali esa kuzatishlarning umumiy so-ni (tanlanma hajmi)ni belgilaymiz. hodisaning nisbiy chastotasi ga teng. x oʻzgarganda nisbiy chastota ham oʻzgaradi, yaʼni nisbiy chastota x ning funksiyasidir.
Empirik taqsimot funksiyasi (tanlanmaning taqsimot funk-siyasi) deb x ning har bir qiymati uchun hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydigan funksiyaga aytiladi, yaʼni
, (11.1)
bu yerda — x dan kichik variantalar soni; — tanlanma haj-mi.
funksiya empirik (tajriba) yoʻli bilan topilgani uchun empirik funksiya deb ataladi.
Tanlanmaning empirik taqsimot funksiyasidan farqli ra-vishda bosh toʻplamning taqsimot funksiyasi nazariy taq-simot funksiyasi deb ataladi. Empirik va nazariy funksiyalar orasidagi farq shundan iboratki, nazariy funksiya hodisaning ehtimolligini aniqlaydi, empirik funksiya esa aynan shu hodisaning nisbiy chastotasini aniqlaydi.
Bernullining katta sonlar qonuni (9.2- teorema)dan kelib chiqadiki, katta larda hodisaning nisbiy chastotasi, yaʼni va aynan shu hodisaning ehtimolligi bir-bi-ridan quyidagi maʼnoda kam farq qiladi:
ixtiyoriy da boʻladi. (11.2)
Ikkinchi tomondan, funksiyaning taʼrifidan u ning barcha xossalariga ega ekanligi kelib chiqadi:
empirik funksiyaning qiymatlari kesmaga tegishli;
— kamaymaydigan funksiya;
agar eng kichik varianta boʻlsa, u holda da boʻladi; agar eng katta varianta boʻlsa, u holda da boʻladi.
Bu yerdan tanlanmaning empirik taqsimot funksiyasidan bosh toʻplamning nazariy taqsimot funksiyasini taqriban tasvirlash uchun foydalanishning maqsadga muvofiq ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, tanlanmaning empirik taqsimot funksi-yasi bosh toʻplamning nazariy taqsimot funksiyasini baholash uchun xizmat qiladi.
2-misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimoti boʻyicha empirik taqsimot funksiyasi tuzilsin:
11.3 – j a d v a l

	1	4	8
	9	3	18

Yechish. Tanlanmaning hajmini topamiz: . Eng kichik varianta 1 ga teng, demak

da boʻladi.
qiymat, yaʼni qiymat 9-marta kuzatildi, demak
da boʻladi.
qiymat, yaʼni va qiymatlar marta kuzatildi, demak
da boʻladi.
Eng katta varianta 8 ga teng boʻlgani uchun
da boʻladi.
Izlanayotgan empirik funksiya

boʻladi.
Bu funksiyaning grafigi 11.1-rasmda tasvirlangan.








1





0,4


0,3


x


4

8

1

0

11.1 — rasm.

Statistik taqsimotni grafik usulda turli yoʻllar bilan, xususan poligon va gistogramma koʻrinishida tasvirlash mumkin.
Chastotalar poligoni deb kesmalari , , ... , nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Po-ligonni yasash uchun abssissalar oʻqida variantalar, ordinata-lar oʻqida esa ularga mos chastotalar qoʻyib chiqiladi. Soʻngra nuqtalar toʻgʻri chiziq kesmalari bilan tutashtirilib, chastotalar poligoni hosil qilinadi.

11.2 — rasm.

Nisbiy chastotalar poligoni deb kesmalari , , ... , nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Nisbiy chastotalar poligoni chastotalar poligoniga oʻxshash usulda yasaladi. 11.2-rasmda quyidagi taqsimotning nis-biy chastotalar poligoni tasvirlangan:

11.4 – j a d v a l

	2	4	6	8
	0,1	0,5	0,25	0,15

Uzluksiz belgi boʻlgan holda gistogramma yasash maqsadga muvofiqdir, buning uchun belgining barcha kuzatilayotgan qiy-matlarini oʻz ichiga olgan oraliq uzunligi ga teng boʻlgan bir nechta qism oraliqlarga boʻlinadi va har bir qism oraliq uchun i nchi oraliqqa tushgan variantalar chastotalarining yigʻindisi topiladi.

Chastotalar gistogrammasi deb asoslari uzunlikdagi qism oraliqlardan iborat boʻlgan, balandliklari esa nis-batga teng boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchaklardan iborat pogʻonasimon shaklga aytiladi. Chastotalar gistogrammasini yasash uchun abs-sissalar oʻqida qism oraliqlar ajratiladi, ularning ustida esa abssissalar oʻqiga parallel holda masofada kesmalar oʻtka-ziladi.
i nchi qism toʻrtburchakning yuzi i nchi oraliq variantalari chastotalarining yigʻindisi ga teng; binobarin, chas-totalar gistogrammasining yuzi barcha chastotalar yigʻindisi-ga, yaʼni tanlanma hajmiga teng.
11.5 – j a d v a l

h = 5 uzunlikdagi qism oraliq	Qism oraliq variantalari chastotalarining yigʻindisi	Chastota zichligi
5 — 10	4	0,8
10 — 15	6	1,2
15 — 20	16	3,2
20 — 25	36	7,2
25 — 30	24	4,8
30 — 35	10	2,0
35 — 40	4	0,8

11.3-rasmda 11.5-jadvalda berilgan taqsimotning chastota-lar gistogrammasi tasvirlangan.

11.3 — rasm.

Nisbiy chastotalar gistogrammasi deb asoslari uzun-likdagi qism oraliqlardan iborat boʻlgan, balandliklari esa nisbatga teng boʻlgan toʻgʻri toʻrtburchaklardan iborat pogʻo-nasimon shaklga aytiladi. Nisbiy chastotalar gistogrammasi chastotalar gistogrammasiga oʻxshash usulda yasaladi.

i nchi qism toʻrtburchakning yuzi i nchi oraliq variantalari nisbiy chastotalarining yigʻindisi ga teng; binoba-rin, nisbiy chastotalar gistogrammasining yuzi barcha nisbiy chastotalar yigʻindisiga, yaʼni birga teng.