Taqqoslamalar va ularning xossalari
- §. Mutiplikativ funksiyalar. Eyler va Ferma teoremalari
Download 0.52 Mb.
|
2 5204389422216254724
- Bu sahifa navigatsiya:
- 38.3-teorema. n !
- Misol 38.3
- 38.6-xossa.
- 38.7-natija.
- Misol 38.5.
- 38.10-tasdiq.
38 - §. Mutiplikativ funksiyalar. Eyler va Ferma teoremalari[x] va {x} funksiyalar sonlar nazariyasida muhim o‘rin egallaydigan funksiyalar hisoblanadi. 38.1-ta’rif. Haqiqiy x sonini x dan oshmaydigan eng katta butun songa mos qo‘yuvchi funksiya x ning butun qismi deyiladi va [x] kabi belgilanadi. x ning kasr qismi deyiladi va {x} kabi belgilanadi. Misol 38.1. [2,6] 2; [4,75] 5; {2,6} 0,6; {4,75} 0, 25. [x] funksiyaning foydali jihatlaridan birini quyidagi teorema orqali bilib olamiz. 38.3-teorema. n!quyidagi songa teng: ko‘paytmada p n tub sonning darajasi n n n ... p p2 p3 Isbot. Ravshanki, n! ko‘paytmaning ko‘paytuvchilari orasida n tasi p ga, n tasi p2 ga va hakazo n tasi pk ga bo‘linadi. p p2 pk Ushbu sonlar yig‘indisi n! ko‘paytmaga bo‘linishi mumkin bo‘lgan p ning eng yuqori darajasiga teng bo‘ladi. Misol 38.2. 40! soni ko‘pi bilan 3 ning nechanchi darajasiga bo‘linishini aniqlasak, 40 40 40 = 13 4 1 = 18. 3 9 27 Demak, 40! soni 318 ga qoldiqsiz bo‘linadi. Multiplikativ funksiyalar ham sonlar nazariyasida muhim o‘rin egallaydi. 1) (a) funksiya barcha musbat butun a lar uchun aniqlanib, ko‘pi bilan bitta qiymati 0 ga teng va barcha qolgan qiymatlari 0 dan farqli; ixtiyoriy o‘zaro tub a1 va a2 musbat butun sonlar uchun (a1a2 ) = (a1) (a2 ). Multiplikativ funksiyalarning ayrim xossalarini keltirib o‘tamiz. 38.5-xossa. Multiplikativ funksiyalar uchun quyidagi xossalar o‘rinli: ixtiyoriy multiplikativ funksiya uchun (1) = 1; b) 1 (a) va 2 (a) mutiplikativ funksiyalar bo‘lsin, u holda 0 (a) = 1 (a)2 (a) ham multiplikativ funksiya bo‘ladi. Isbot. a) aytaylik, (a0 ) 0 bo‘lsin, u holda mutiplikativ funksiyaning ikkinchi shartiga asosan (a0 ) = (1 a0 ) = (1) (a0 ), ya’ni, (1) = 1. 0 (a1a2 ) = 1 (a1a2 )2 (a1a2 ) = 1 (a1 )1(a2 )2 (a1)2 (a2 ) = 1 (a1 )2 (a1 )1 (a2 )2 (a2 ) = 0 (a1)0 (a2 ). Bizga (a) multiplikativ funksiya va a sonining kanonik 1 2 k ko‘rinishi a = p1 p2 ... pk berilgan bo‘lsin. (d ) orqali a soni-ning d|a barcha bo‘luvchilari bo‘yicha olingan yig‘indini belgilaymiz. 38.6-xossa. (d ) = (1 ( p ) ... ( p1 )) ... (1 ( p ) ... ( pk )). (38.1) 1 1 k k d|a Isbot. Xossani isbotlash uchun (38.1) tenglikning o‘ng tomonini ochib chiqamiz. U holda yig‘indi hadlari quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ( p1 ) ( p2 ) ... ( pk ) = ( p1 p2 ... pk ) , 1 2 k 1 2 k bu yerda 0 1 1, 0 2 2 , ..., 0 k k . Ushbu p1 p2 ... pk sonlar a sonining barcha bo‘luvchilarini 1 2 k beradi, hamda yig‘indida hech bir had ikki marta takrorlanmaydi, demak tenglikning o‘ng tomoni aynan chap tomoniga teng. Ushbu xossadan quyidagi natijalar kelib chiqadi. 38.7-natija.a = p1 p2 ... pk sonining bo‘luvchilari soni quyi-dagiga teng: 1 2 k (1 1 ) (1 2 ) ... (1 k ) . qo‘llasak, (38.1) tenglikning chap tomoni a sonining bo‘luvchilari 38.8-natija. a = p1 p2 ... pk sonining bo‘luvchilari 1 2 k yig‘indisi quyidagiga teng: p11 1 p2 1 1 pk 1 1 1 2 ... k . p1 1 p2 1 pk 1 Isbot. 38.6-xossani (a) = a multiplikativ funksiya uchun qo‘llasak, (38.1) tenglikning chap tomoni a sonining bo‘luvchilari p11 1 p2 1 1 pk 1 1 yig‘indisini, o‘ng tomoni esa 1 2 ... k ifodani p1 1 p2 1 pk 1 beradi. S(a) a sonining bo‘luvchilari sonini (a), kabi belgilanadi. bo‘luvchilari yig‘indisi esa Misol 38.4. 720 sonining bo‘luvchilari soni va bo‘luvchilari yig‘indisini toping. (720) = (24 32 5) (4 1) (2 1) (11) = 30; 4 2 241 1 321 1 511 1 S(720) = S(2 3 5) 2 1 3 1 5 1 = 2418. 38.9-ta’rif. Musbat sonlar ustida aniqlangan, hamda a soniga 1,2, ..., a 1 sonlar ichida a bilan o‘zaro tub bo‘lgan sonlar sonini mos qo‘yuvchi funksiya Eyler funksiyasi deyiladi. Eyler funksiyasi belgilanadi. Misol 38.5.(a) kabi (1) = 1, (2) = 1, (3) = 2, (4) = 2, (5) = 4, (6) = 2. Eyler funksiyasining qiymatini berilgan a sonining 1 2 k formula keltiramiz. 1 1 1 38.10-tasdiq.(a) = a 1 p 1 p ... 1 p 1 2 k Isbot. Avval a tub son bo‘lgan holni qaraymiz, ya’ni a p biror tub songa teng bo‘lsin. U holda p tub son ekanligidan 1, 2, 3, ..., p 1 sonlarni xar biri bilan o‘zaro tub bo‘ladi. Demak, ( p) = p 1. Endi a biror tub sonning darajasi ko‘rinishida bo‘lsin ya’ni a = p . U holda {1, 2, 3, ..., p 1}\{ p, 2 p, 3 p, ...,( p1 1) p} sonlarning barchasi p bilan o‘zaro tub, ya’ni ( p ) p p 1. Aytaylik, a = p1 p2 ko‘rinishda bo‘lsin, bu yerda p1, p2 tub sonlar. Umumiylikka ziyon yetkazmagan holda p1 < p2 deb olib, {1, 2,..., p1 p2 1}\{p1, 2 p1,3 p1,...,( p2 1) p1, p2 , 2 p2 ,3 p2 ,...,( p1 1) p2} sonlarni qaraymiz. Bu sonlarning barchasi bo‘ladi, ya’ni p1 p2 bilan o‘zaro tub ( p1 p2 ) = p1 p2 p1 p2 1 = ( p1 1)( p2 1) = ( p1) ( p2 ) . Demak, o‘zaro tub bo‘lgan ikkita natural son uchun ( p1 p2 ) = ( p1 ) ( p2 ) ekanligi kelib chiqdi. Induksiyadan foydalangan holda juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lgan k ta natural son uchun ( p1 p2 ... pk ) ( p1) ( p2 ) ...( pk ) ekanligini osongina hosil qilish mumkin. Yuqorida berilganlardan foydalanib, ( p1 p2 ... pk ) = ( p1 ) ( p2 ) ...( pk ) 1 2 k 1 2 k ( p1 p11 ) ( p2 p2 1 ) ... ( pk pk 1 ) 1 1 2 2 k k tenglikni hosil qilamiz, ya’ni 1 1 1 (a) = a 1 p 1 p ... 1 p . 1 2 k Download 0.52 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|