"tasdiqlayman" Matematika kafedrasi mudiri

3-misol. Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan X tasodifiy miqdorning dispersiyasi topilsin:
2.3 – j a d v a l

	2	3	5
	0,1	0,6	0,3

Yechish.M(X) matematik kutilma quyidagiga teng:
.
tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagicha:
2.4– j a d v a l

	4	9	25
	0,1	0,6	0,3

matematik kutilma quyidagicha:
.
Izlanayotgan dispersiya
bo’ladi.
Matematik kutilma kabi, dispersiya ham bir nechta xossaga ega.
2.3-xossa.O’zgarmas miqdorning dispersiyasi nolga teng:
.
Isbot. Dispersiyaning ta’rifiga ko’ra
.
ni hosil qilamiz.
Shunday qilib,
.
O’zgarmas miqdor doimo aynan bir xil qiymatni saqlashi va demak, tarqoqlikka ega emasligi inobatga olinsa, bu xossa oydin bo’lib qoladi.


2.4-xossa.O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga oshirib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin:
.


2.5-xossa.Ikkita bog’liqmas tasodifiy miqdor yig’indisining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarining yig’indisiga teng:
.
2.2-natija.Bir nechta bog’liqmas tasodifiy miqdorlar yig’indisining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarining yig’indisiga teng.
2.3-natija.O’zgarmas miqdor bilan tasodifiy miqdor yig’indisining dispersiyasi tasodifiy miqdorning dispersiyasiga teng:
.
Isbot.S va X miqdorlar o’zaro bog’liqmas, shuning uchun 2.5-xossaga asosan
.
2.3-xossaga asosan
.
Demak,
.
X va X + S miqdorlar faqat sanoq boshi bilan farq qilishi va demak, o’zlarining matematik kutilmalari atrofida bir xil tarqoqlikka ega ekanligi inobatga olinsa, bu xossa oydin bo’lib qoladi.


2.6-xossa.Ikkita bog’liqmas tasodifiy miqdor ayirmasining dispersiyasi bu miqdorlar dispersiyalarining yig’indisiga teng:
.
Isbot. 2.5-xossaga asosan
.
2.4-xossaga asosan
.
yoki
.


2.7-xossa. Har birida A hodisaning ro’y berish ehtimolligi r o’zgarmas bo’lgan n ta bog’liqmas tajribada bu hodisaning ro’y berishlari sonining dispersiyasi tajribalar sonini bitta tajribada hodisaning ro’y berish va ro’y bermaslik ehtimolliklariga ko’paytirilganiga teng:
.

Diskret tasodifiy miqdorlar kabi uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham sonli xarakteristikalarilarga ega. Uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasini ko’rib chiqaylik.

X uzluksiz tasodifiy miqdor zichlik funktsiyasi bilan berilgan bo’lsin va bu tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari kesmaga tegishli bo’lsin.
Mumkin bo’lgan qiymatlari kesmaga tegishli bo’lgan X uzluksiz tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi deb quyidagi aniq integralga aytiladi:
. (2.3)
Agar mumkin bo’lgan qiymatlar butun Ox sonli o’qqa tegishli bo’lsa, u holda matematik kutilma quyidagi ko’rinishga ega
. (2.4)
Mumkin bo’lgan qiymatlari kesmaga tegishli bo’lgan X uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb quyidagi aniq integralga aytiladi:
. (2.5)
Agar mumkin bo’lgan qiymatlar butun Ox sonli o’qqa tegishli bo’lsa, u holda dispersiya quyidagi ko’rinishga ega
. (2.6)
Dispersiyani hisoblash uchun mos ravishda
(2.7)
va
(2.8)
formulalar qulayroq.
Diskret tasodifiy miqdorlar matematik kutilmasi va dispersiyasining xossalari uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ham saqlanadi.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik chetlanishi diskret tasodifiy miqdor uchun bo’lgani kabi quyidagi tenglik bilan aniqlanadi
. (2.9)