Tasodifiy miqdor tushunchasi va uning turlari. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Ayrim diskret taqsimotlar

4-misol. Pul lotereyasida 100 ta bilet chiqarilgan. Bitta 5000 so’mlik, beshta 1000 so’mlik va o’nta 500 so’mlik yutuq o’ynalmoqda. Bitta lotereya bileti egasining mumkin bo’lgan yutu-g’idan iborat bo’lgan X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni topilsin.
Echish. X ning mumkin bo’lgan qiymatlarini yozamiz: , , , . Bu mumkin bo’lgan qiymat-larning ehtimolliklari quyidagicha: , , , .
U holda izlanayotgan taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishda
5.2 – j a d v a l

	0	500	1000	5000
	0,84	0,1	0,05	0,01

Yaqqollik uchun diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qo-nunini grafik ko’rinishda ham tasvirlash mumkin, buning uchun to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida nuqtalar belgilanadi, so’ngra ular kesmalar bilan birlashtiriladi. Ho-sil bo’lgan shakl taqsimot ko’pburchagi deb ataladi. 5.1-rasmda 3-misoldagi X tasodifiy miqdorning taqsimot ko’pburchagi kelti-rilgan.

Endi formulalar orqali berilgan ayrim diskret taqsimot-lar — binomial, geometrik va Puasson taqsimotlarini ko’rib chiqaylik.

5.1 - rasm.
n ta bog’liqmas tajriba o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolligi doimiy va p ga teng bo’lsin (demak, ro’y bermaslik (muvaffaqiyatsizlik)-ning ehtimolligi q=1–p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sifatida A hodisaning shu tajribalarda ro’y berishlarining soni-ni ko’rib chiqaylik. X ning mumkin bo’lgan qiymatlari bunday: 0, 1, 2, ..., n. Bu mumkin bo’lgan qiymatlarning ehtimolliklari (4.1) Bernulli formulasi bo’yicha topiladi:
,
bu yerda k= 0, 1, 2, ..., n.
Ehtimolliklarning binomial taqsimoti deb Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimolliklar taqsimotiga ay-tiladi. Bernulli formulasining o’ng tomonini Nьyuton binomi yoyilmasining umumiy hadi sifatida qarash mumkin bo’lgani uchun bu taqsimot qonuni «binomial» deb ataladi:
.
p + q = 1 bo’lgani uchun tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari ehtimolliklarining yig’indisi 1 ga teng.
SHunday qilib, binomial taqsimot qonuni quyidagi ko’ri-nishga ega

5.3 – j a d v a l

			. . .		. . .	0
			. . .		. . .

Binomial taqsimotga misol sifatida 3-misoldagi tasodi-fiy miqdorning taqsimotini keltirish mumkin.

Faraz qilaylik, bog’liqmas tajribalar o’tkazilib, ularning har birida A hodisaning ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolli-gi r ga ( ), binobarin, uning ro’y bermasligi (muvaffa-qiyatsizlik)ning ehtimolligi q=1–p ga teng bo’lsin. Tajribalar birinchi muvaffaqiyatgacha davom etadi. SHunday qilib, agar A hodisa k-tajribada ro’y bersa, u holda avvalgi k – 1 ta tajribada u ro’y bermaydi.
Agar X orqali birinchi muvaffaqiyatgacha bo’lgan tajribalar soniga teng bo’lgan diskret tasodifiy miqdorni belgilasak, u holda uning mumkin bo’lgan qiymatlari 1, 2, 3, ... natural son-lardan iborat bo’ladi.
Faraz qilaylik, birinchi k – 1 ta tajribada A hodisa ro’y ber-masdan, k-tajribada ro’y berdi. Bu «murakkab hodisaning» ehti-molligi, bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish haqidagi 3.3-teoremaga asosan
(5.1)
ga teng.
Ehtimolliklarning geometrik taqsimoti deb (5.1) formu-la bilan aniqlanadigan ehtimolliklar taqsimotiga aytiladi, chunki bu formulada k = 1, 2, ... deb faraz qilsak, birinchi hadi r ga va maxraji q ga ( ) teng bo’lgan geometrik progressiyaga ega bo’lamiz:

CHeksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig’indisini topsak, tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari ehti-molliklarining yig’indisi 1 ga teng ekanligini oson ko’rish mumkin:
.
SHunday qilib, geometrik taqsimot qonuni quyidagi ko’ri-nishga ega:

5.4 – j a d v a l

	1	2	3	. . .	K	. . .
				. . .		. . .