Tasodifiy miqdorlardan maksimalining va minimalining taqsimot qonunlari

1.4-§. (, ) sistemaning taqsimot qonuni
Oldingi paragraflarda sistemaning taqsimot zichligini bilgan holda va tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlarini topish masalasi qaralgan edi. Bu paragrafda esa ularning birgalikdagi taqsimot qonunini topish masalasini qaraymiz.

1.4.1-teorema: -taqsimot zichligi bo`lgan uzluksiz tasodifiy miqdorlar sistemasi bo`lsin. Agar va funksiyalar mos ravishda

(, ) sistemaning taqsimot funksiyasi va taqsimot zichligi bo`lsa, u holda

munosabatlar o`rinli bo`ladi.

Isbot. Ikkita tasodifiy miqdor sistemasining taqsimot funksiyasi ta’rifiga ko`ra

mumkin bo`lgan ikki holni qaraymiz.

1. bo`lsin. U holda hodisa hodisaga teng kuchli bo`ladi. Bundan

bo`lishi kelib chiqadi.

Tasodifiy miqdorlarning maksimali dan kichik bo`lganda ularning har biri dan kichik ekanligini hisob olib, taqsimot funksiya uchun

tenglikni hosil qilamiz. Shunday qilib, bo`lganda

tenglik o`rinli bo`ladi.

2. bo`lsin. Bu holda hodisa birgalikda bo`lmagan va hodisalarning yig’indisi ko`rinishida ifodalash mumkin:

Birgalikda bo`lmagan hodisalar ehtimollarining qo`shish teoremasiga ko`ra

ni hosil qilamiz. U holda bu tenglikning o`ng tomonidagi ehtimollarni taqsimot zichlik yordamida yozib, quyidagiga ega bo`lamiz: (4-chizmaga qarang)

(1.4.1)

(1.4.1) tenglikda ikki karrali integraldan takroriy integralga o`tib, quyidagini topamiz:

.

Shunday qilib, taqsimot funksiya bo`lganda

(1.4.2)

bo`lganda esa,

(1.4.3)

bo`ladi.

1.4.1-chizma

Ma’lumki, ikki o`lchovli uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi taqsimot funksiyadan olingan ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilaga teng.

Demak,

bo`ladi.

bo`lsin. U holda (1.4.2) formulani bo`yicha differensiallab, topamiz:

Endi bo`lsin. Bu holda (1.4.3) formuladan avval bo`yicha olingan xususiy hosilani keyin hosil bo`lgan natijadan bo`yicha xususiy hosilani topamiz. Natijada,

ni hosil qilamiz.

Shunday qilib, taqsimot zichlik bo`lganda

(1.4.4)

bo`lganda esa

(1.1.5)

bo`ladi.