Tayanch so`zlar: funksiyalar ketma-ketligi, o`lchоvli to`plam, o`lchоvli funksiya 1-teorema

1-Ta`rif (F.Riss). O`lchovli E to`plamda deyarli chekli, o`lchovli f(x) funksiya va deyarli chekli, o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin . Agar har qanday musbat son uchun ushbu

munosabat bajarilsa, u holda funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga o`lchov bo`yicha yaqinlashuvchi deyiladi va ko`rinishda yoziladi.
2-Teorema (A. Lebeg). f(x) funksiyaga o`lchovli E to`plamda deyarli yaqinlashuvchi o`lchovli funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo`lsin. U holda funksiyalar ketma-ketligi E to`plamda f(x) funksiyaga o`lchov bo`yicha ham yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. 1-teoremaga binoan f(x) funksiya E to`plamda o`lchovli bo`ladi.
Quyidagi to`plamlarni tuzamiz:

Teoremaning shartlariga ko`ra bu to`plamlarning har biri o`lchovli va
(3)
Ushbu

munosabatlarga va 6- ma`ruzadagi 7-teoremaga muvofiq
(4)
Endi
(5)
munosabatni isbot qilamiz. Buning uchun P to`plamdan ixtiyoriy elementni olamiz. Agar bo`lsa, u holda

bo`ladi. Demak , shunday n natural son topiladiki, uning uchun

tengsizlik bajariladi yoki boshqacha aytganda,
.
Bundan va munosabatlar olinadi. Shu bilan (5) munosabat isbot bo`ldi. (3)-(5) munosabatlardan

tenglik kelib chiqadi. Shu bilan o`lchov bo`yicha yaqinlashishning F.Riss ta`rifiga muvofiq teorema ham isbot etildi,chunki

va demak ,



3-Teorema (F.Riss). Agar funksiyalar ketma-ketligi E to`plamda f(x) funksiyaga o`lchov bo`yicha yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlikdan shunday qismiy ketma-ketlikni ajratib olish mumkinki, bu qismiy ketma-ketlik E to`plamda f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. da bo`lgani uchun quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi sonlar ketma-ketliklari mavjud;

va

(6)
………………..

………………...
Bu funksiyalar ketma-ketligining E to`plamda deyarli yaqinlashuvchi ekanligini ko`rsatsak,teorema isbot qilingan bo`ladi . Ushbu

to`plamlarni tuzamiz. munosabatlarni 6 –ma`ruzadagi 7- teoremaga muvofiq da .
Ikkinchi tomondan , (6)ga muvofiq , .
Demak, , chunki .Bundan esa o`z navbatida
tenglik kelib chiqadi.
Endi to`plamning har bir nuqtasida funksiyalar ketma-ketligining yaqinlashuvchi ekanligini isbot qilamiz.
Har bir uchun shunday topiladiki , munosabat o`rinli bo`ladi.bundan , agar bo`lsa, Demak, bo`lganda

Ammo da bo`lgani uchun da oxirga munosabatdan ,ya`ni funksiyalar ketma-ketligi E to`plamda deyarli yaqinlashadi.