Abdunabiyeva Gulira’no
Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari Biror (1) funksional qator berilgan bo`lsin. Bu qator X to`plamda yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi (2) bo`ladi. Limit ta`rifiga ko`ra, son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun (3) tengsizlik bajariladi. Ma`lumki, X to`plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {Sn(x)} ketma-ketlik turlicha bo`ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o`tilgan limit ta`rifidagi N natural son olingan x ga ham bog`liq bo`ladi. Agar bordi-yu ta`rifda N natural son faqat E ga bog`liq bo`lib, qaralayotgan x nuqtaga bog`liq bo`lmasa, u holda {Sn(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi. Ta`rif. Agar son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi. Ta`rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo`yicha hadlari musbat bo`lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo`lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi. Teorema. (1) funksional qator X to`plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun bo`lishi zarur va yetarli. Isboti [1], 105-bet. Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o`ynaydi. Qo`yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta`minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz. Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi X to`plamda (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo`ladi. Misol. funksional qator X=(- ) da tekis yaqinlashuvchi bo`ladi, chunki bo`lib, sonli qator yaqinlashuvchi. Misol. µ § funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish sohasi topilsin. Yechish. Ma’lumki µ § qator µ § bo’lganda absolyut yaqinlashuvchi, µ § bo’lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo’lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1 bo’lganda uzoqlashuvchi. Shuning uchun, agar µ § ya’ni µ § bo’lsa, µ § qator absolyut yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya’ni x=e-1 nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo’ladi. Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e-1,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e-1,e) entervaldan ibotar. 3. Tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar va xossalari Biror µ § (1) funksional qator berilgan bo’lsin. Bu qator X to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi µ § (2) bo’ladi. Limit ta’rifiga ko’ra, µ § son uchun shunday N son topiladiki, barcha n>N uchun µ § (3) tengsizlik bajariladi. Ma’lumki, X to’plamdan olingan x ning qiymatiga qarab {Sn(x)} ketma-ketlik turlicha bo’ladi. Binobarn, yuqorida eslatib o’tilgan limit ta’rifidagi N natural son olingan x ga ham bog’liq bo’ladi. Agar bordi-yu ta’rifda N natural son faqat E ga bog’liq bo’lib, qaralayotgan x nuqtaga bog’liq bo’lmasa, u holda {Sn(x)} funksional ketma-ketlik X to’plamda S(x) ga tekis yaqinlashuvchi deyiladi. Ta’rif. Agar µ § son olinganda ham shunday natural N son topilsaki, barcha n>N va ixtiyoriy x nuqtalar uchun bir vaqtda µ § tengsizlik bajarilsa, holda (1) funksional qator X to’plamda S(x)ga tekis yaqinlashadi deyiladi. Ta’rif. Agar qatorning har bir hadi absolyut qiymati bo’yicha hadlari musbat bo’lgan biror yaqinlashuvchi sonli qatorning mos hadidan katta bo’lmasa, bunday qator kuchaytirilgan qator deyiladi. Teorema. (1) funksional qator X to’plamda S(x)ga tekis yaqinlashishi uchun µ § bo’lishi zarur va yetarli. Isboti [1], 105-bet. Tekis yaqinlashish tushunchasi funksional qatorlar nazariyasida muhim rol o’ynaydi. Qo’yida funksional qatorning tekis yaqinlashishini ta’minlaydigan Veyershtrass alomatini isbotsiz keltiramiz. Veyershtrass alomati. Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi X to’plamda µ § (4) tengsizlikni qanoatlantirsa va µ § (5) sonli qator yaqinlashuvchi bo’ladi. Misol. µ § funksional qator X=(-µ §) da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki µ § bo’lib, µ § sonli qator yaqinlashuvchi. Tekis yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari: Agar (1) funksional qatorning har bir fn(x) hadi (n=1,2,ЎK) X to’plamda uzluksiz bo’lib, bu funksional qator X to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lib, u holda qatorning yig’indisi S(x) ham shu to’plamda uzluksiz bo’ladi. 20. Uzluksiz funksiyalardan tuzilgan tekis yaqinlashuvchi qatorni hadma-had integrallash mumkin, ya’ni µ § (6) qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi esa µ § (7) gat eng bo’ladi 30. Agar (1) qatorning har bir hadi [a,b] segmentda uzluksiz µ § hosilaga ega bo’lib, bu hosilalardan tuzilgan µ § funksional qator [a,b]da tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda funksional qator yig’indisi S(x) shu [a,b] segmentda S1(x) hosilaga ega va S1(x)= µ § (8) bo’ladi. Eslatma. Tekis yaqinlashuvchi qatorni ba’zi kuchaytirilgan qator ham deb ataydilar. 4. Darajali qatorlar. Funksional qatorlarning muhim xususiy holi darajali qatorlardir. Ta’rif. Quyidagi a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ЎK+an(x-x0)n+ЎK (1) yoki a0+a1x+a2x2+ЎK+anxn+ЎK (2) ko’rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda aK(K=0,1,2,ЎK) o’zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsentlari deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
