Tekislikda simmetriya

Dilnoza Mo’ydinova

(Фергана, Узбекистан)

AKADEMIK LITSEY VA KASB­HUNAR KOLLEJLARIDA

“TEKISLIKDA SIMMETRIYA” MAVZUSINI O’RGANISH HAQIDA

I.

Nuqtaga nisbatan simmetriya

Bizga biror

tekislik berilgan bo’lsin.

– shu tekislikdagi biror tayin nuqta va

­ tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin.

kesmani to’g’ri chiziq sifatida davom

ettirib , bu to’g’ri chiziqda shunday

nuqtani olaylikki, bunda

tenglik

o’rinli bo’lsin.

nuqta

nuqtaning O nuqtaga nisbatan simmetrik nuqtasi

deyiladi. Tekislikdagi barcha nuqtalarni unda berilgan biror tayin nuqtaga nisbatan

simmetrik ko’chirish mumkin. Quyidagi holatlarni ko’rib chiqaylik:

1.

Nuqtani nuqtaga nisbatan simmetrik ko’chirish.

koordinatalar sistemasida biror

nuqtani

nuqtaga nisbatan

simmetrik ko’chirganda qanday nuqta hosil bo’lishi haqida o’ylab ko’raylik. Berilgan

va

nuqtalarni 1­rasmda tasvirlangandek joylashtirib, shu

nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni hosil qilaylik.

1­rasm

Hosil bo’lgan

to’g’ri chiziqda shunday

nuqta olaylikki, unda

bo’lsin. 1­rasmdan ko’rinib turibdiki,

nuqtadan

nuqtaga yetib borish uchun.

nuqtani

birlik o’ngga va

birlik yuqoriga ko’tarish kerak bo’ladi. Natijada

nuqtaning koordinatalari

orqali aniqlanadi.

1­misol.

nuqtani

nuqtaga nisbatan simmetrik ko’chiring?

Yechish:

,

va

,

.

Demak,

nuqtani

nuqtaga nisbatan simmetrik ko’chirganda

nuqata hosil bo’ladi.

Yuqoridagi (1) almashtirish

tekisligidagi ixtiyoriy

nuqtani

nuqtaga nisbatan simmetrik ko’chirganda

nuqta hosil bo’lishini

bildiradi.

2.

To’g’ri chiziqni nuqtaga nisbatan simmetrik ko’chirish.

Ixtiyoriy

to’g’ri chiziqni

nuqtaga nisbatan simmetrik

ko’chirish uchun (1) almashtirishdan foydalanish kifoya, ya’ni

;

.

Natijada ixtiyoriy

to’g’ri chiziqni biror

nuqtaga nisbatan

simmetrik ko’chirilganda

ko’rinishdagi to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.

2­misol:

to’g’ri chiziqni

nuqtaga nisbatan simmetrik

ko’chiring?

Yechish:

,

,

,

.

Demak,

to’g’ri chiziqni

nuqtaga nisbatan simmetrik

ko’chirganda

to’g’ri chiziq hosil bo’lar ekan.

3. Ixtiyoriy

funksiyani biror

nuqtaga nisbatan simmetrik

ko’chirish

.

Yuqoridagi ikkita holatdan ma’lum bo’ldiki,

tekislikda berilgan ixtiyoriy

funksiyani biror

nuqtaga nisbatan simmetrik ko’chirish mumkin.

Buning uchun ham

almashtirishni bajaraylik,

.

Shunday qilib, ixtiyoriy

funksiyani biror

nuqtaga nisbatan

simmetrik ko’chirilganda

ko’rinishdagi funksiya hosil bo’ladi.

3­misol:

parabolani

ga nisbatan simmetrik ko’chiring?

Yechish:

funksiya hosil bo’ladi. Bunda :

,

.

II.

To’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirish.

1.

Nuqtani to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirish.

Biror

tekislikda qandaydir

tog’ri chiziq berilgan bo’lsin.

tog’ri chiziqda

yotmaydigan nuqtani shu

tog’ri chiziq nisbatan simmetrik ko’chirish masalasini

o’rganaylik. Ko’rsatish qiyin emaski,

nuqtani

o’qiga nisbatan

simmerik ko’chirganda

nuqta,

o’qiga

nisbatan simmerik

ko’chirganda

nuqta va koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik

ko’chirganda esa

nuqta hosil bo’ladi.

Masalan,

nuqtani

1)

o’qiga nisbata simmerik ko’chirganda

;

2)

o’qiga nisbata simmerik ko’chirganda

;

3) koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik ko’chirganda

hosil bo’ladi.

Endi ixtiyoriy

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan sim­

metrik ko’chirishni o’rganaylik. Quyidagi ayrim xususiy xollarini ko’rib chiqaylik:

1.

bo’lsin. Bu holda

nuqtani

o’qiga parallel bo’lgan

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirish kerak bo’ladi. Buning uchun

nuqtadagi

ni

bilan almashtirish zarur. Natijada

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirganda

nuqta hosil bo’ladi.

4­misol:

nuqtani

ga nisbatan simmetrik ko’chiring.

Yechish:

,

.

Demak,

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirsak

nuqta hosil bo’ladi.

Izox: Yuqoridagi holatda

bo’lsa,

nuqtani

o’qiga nisbatan

simmerik ko’chirish qoidasi hosil bo’ladi.

2.

bo’lsin. Mazkur holatda

nuqtani

o’qiga parallel

bo’lgan

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirish zarur bo’ladi. Shu

maqsadda

nuqtadagi

ni

bilan aniqlashtiramiz. Natijada

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirganda

nuqta

hosil bo’ladi.

5­misol:

dekart koordinatalar tekisligida berilgan

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chiring.

Yechish:

,

.

Demak,

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirganda

nuqta paydo bo’ladi.

Izox. Ushbu holatda

bolsa,

nuqtani

o’qiga nisbatan simmetrik

ko’chirish qoidasi kelib chiqadi.

3.

bo’lsin. Bu holatda ixtiyoriy

nuqtani ixtiyoroy

to’g’ri chiziqqa

nisbatan simmetrik ko’chirish o’rganiladi. Taqqiqotlar shuni

ko’rsatadiki,

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirilganda

nuqtaga o’tadi:

;

,

bu yerda

,

,

.

6­misol: Berilgan

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan

simmetrik ko’chirish.

Yechish:

,

,

,

,

lar berilgan. Demak,

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

.

Shunday qilib,

nuqtani

to’g’ri chiziqqa nisbatan

simmetrik ko’chirganda

nuqta hosil bo’ladi.

2.

To’g’ri chiziqni to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik ko’chirish.

Quyidagi bir nechta holatni ko’rib chiqaylik:

1)

to’g’ri chiziqni

o’qiga nisbatan simmetrik ko’chirilganda

to’g’ri chiziq hosil bo’ladi. Xususiy holda

to’g’ri chiziqni

o’qiga nisbatan simmetrik ko’chirsak

to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.

Xulosa:

Ixtiyoriy

funksiyani

o’qqa nisbatan simmetrik

ko’chirilganda

funksiya hosil bo’ladi.

2)

to’g’ri chiziqni

o’qiga nisbatan simmetrik ko’chirilganda

to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.

to’g’ri chiziqni

o’qiga

nisbatan simmetrik ko’chirsak

to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.

Xulosa:

Ixtiyoriy

funksiyani

o’qqa nisbatan simmetrik

ko’chirilganda

funksiya hosil bo’ladi.

3)

to’g’ri chiziqni koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik

ko’chirganda

to’g’ri chiziq hosil bo’ladi. Xususan,

to’g’ri chiziqni koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik ko’chirganda

to’g’ri chiziq hosil bo’ladi.

Xulosa:

Ixtiyoriy

funksiyani

koordinatalar boshiga

nisbatan

simmetrik ko’chirganda

funksiya hosil bo’ladi.

2. Ixtiyoriy

funksiyani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirganda

funksiya hosil bo’ladi.

3. Ixtiyoriy

funksiyani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirganda

funksiya hosil bo’ladi.

Xulosa:

Ixtiyoriy

funksiyani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirganda

funksiya hosil bo’lar ekan.

Natija:

funksiyani

to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik

ko’chirilganda

funksiya hosil bo’ladi.

Научный руководитель:

Фармонов Шерзодбек Рахмонжонович.