Tekislikda va fazoda Dekart koordinatalar sistemasi. Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish, uchburchak yuzini, og‘irlik markazini topish. Reja

Fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi
Fazoda nuqtaning o‘rnini aniqlash uchun bir-biri bilan to‘g‘ri burchak hosil qilib kesishadigan uchta H,Q,R tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata tekisliklari deb ataladi. R,Q,R tekisliklar OX,OY,OZ to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha kesishadi, bu chiziqlar koordinata o‘qlari deyiladi va OX abssissa o‘qi, OY ordinati o‘qi va OZ applikatalar o‘qi deb ataladi. Bu uch o‘qning kesishgannuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari o‘zaro kesishib fazoni sakkiz qismga (bo‘lakka) ajratadi. Bu bo‘laklar oktantlar deyiladi.

Bu keltirilgan koordinata sistemasi fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasi deyiladi. Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasini qisqacha quyidagicha ta’riflash mumkin.

Ta’rif: Fazoda to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar 3ta o‘zaro perpendikulyar uq, ularni kesishgan nuqtasi O va masshtab birligi berilgan bo‘lsa. Fazoda har qanday nuqtaning o‘rni koordinata sistemasiga nisbatan 3ta son bilan aniqlanadi. Fazoda biror M nuqta va ma’lum masshtab birligi berilgan bo‘lsin (ch-4). M nuqtadan koordinata o‘qlariga perpendikulyarlar tushiramiz va ularni koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini
R,Q,S bilan belgilaymiz. Agar Z R,Q,S nuqtalar berilgan bo‘lsa S V M nuqtani topish mumkin. Demak M nuqtani fazodagi vaziyatini X=OR, Y=OQ va Z=OS о S M miqdorlar belgilaydi va ular U M nuqtaning koordinatlari, Q aniqrog‘i x M nuqtaning abssissasi, U ordinatasi va R A Z aplekatasi deyladi. Agar X fazoda biror, M (x;u;z) nuqta berilgan bo‘lsa, uni fazodagi vaziyatini quyidagicha aniqlash mumkin (ch-5) OX o‘qidan x ni topamiz, OY o‘qidan uni topamiz. R nuqtadan OY o‘qiga parallel qilib, Q nuqtadan OX o‘qiga parallel qilib to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz va ularni kesishgan nuqtasini Q₁ bilan belgilaymiz. O₁ nuqtadan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziq o‘tkazamiz.
SHundan keyin z ni ishorasiga qarab, agar z > 0, bo‘lsa O₁dan yuqoriga qarab Z uzunliga z bo‘lgan O₁Z va Z < 0 bo‘lsa O₁ dan pastga qarab uzunligi O₁Z . Z kesmi ajratamiz. O₁Z kesmani oxirgi
Q y nuqtasi biz izlayotgan M nuqtadir.
O M (5;6;3) nuqtani yasaylik: xq5 va uq6
x x kesmalarni topib, ularni oxiridan R O₁ OX va OY o‘qiga parallel qilib uzuq x y chiziqlar o‘tkazamiz, so‘ngri ularni r-5 kesishish nuqtasi O₁dan OZ o‘qiga parallel qilib uzuq chiziqlar o‘tkazamiz. Z=3>0, bo‘lganidi. O₁ nuqtadan yuqorigi qarab 3 birlik o‘lchaymiz, shu kesmani oxiri, ya’ni O₁M kesma hosil bo‘ladi. Ana shu topilgan M nuqta biz izlayotgan nuqtadir
Takidlaymizki, M₁ (x;u) nuqta tekislikda, M₂ (x;u;z) nuqta fazoda berilgan bo‘lsa.
M₁ni qaysi chorakda, M₂ esa qaysi aktantda ekanligini quyidagi j-1 va j-2 jadvaldan foydalanib aniqlash mumkin.
uqR M Q u o
x=5 x=5x O1 у=6 ch-6
Чораклар (х;у) нукта коор иш
Х у I х>0 y>0
II x<0 y>0
III x<0 y<0
IV x>0 y<0 Октантлар х;у;z) нуқта коор иш
Х У Z I х>0 y>0 z>0
II x<0 y>0 z>0
III x<0 y<0 z>0
IV x>0 y<0 z>0
V х>0 y>0 z<0
VI x<0 y>0 z<0
VII x<0 y<0 z<0
VIII x>0 y<0 z<0 z
Takidlaymizki, koordinatalar sistemasi faqatgina shu ko‘rsatilgan koordinatalar sistemasi emas, balki cheksiz ko‘pdir. Masalan tekislikda Dekart koordinatalar sistemasida OX va OY o‘qlari perpendikulyar bo‘lmasa, masalan burchak tashkil qilsa, bunday koordinata sistemasiga affin koordinata sistemasi deyiladi.
Amalda qutb, egri chiziqli, sferik va silindrik koordinata sistemalari keng qo‘llaniladi.
Misol uchun qutb koordinatalar sistemasi bilan tanishaylik. Tekislikni ixtiyoriy O nuqtasidan OX o‘qini o‘tkazimiz. Bu vaqtda tekislikdagi M nuqtaning vaziyati ikki miqdor bilan, O nuqtadan M
Nuqtagacha bo‘lgan masofa va
M r ning OX o‘qi bilan tashkil kilgan

Burchagi orqali aniqlanadi. O

Nuqta-qutb, OX o‘q qutb o‘qi, r esa O \ x M nuqtaning radius vektori,
esa qutb burchagi deyiladi. r va sonlar M nuqtaning qutb koordinatalari deyiladi va M(r; ) ko‘rinishda yozilib, M (x;у)-M(r; ) u Agar to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasini koordinata boshi qutb bilan OX o‘qi qutb o‘qi bilan ustma ust u nuqtaning to‘g‘ri burchakli x Dekart koordinatalari va o x qutb koordinatalar orasida quyidagi sodda boglanish mavjud:
x=r Cos .y=rSin . r= . =arc tg y/x
M: M(5;5) nuqtani qutb koordinatalar sistemasidagi koordinatalarini toting,
Echish: r= = =5 ; =arstg u/x=arctg 1=45=