Tekislikdagi analtik geometriya

Download 445 b.

Sana	25.12.2017
Hajmi	445 b.
	#23037

TEKISLIKDAGI ANALTIK GEOMETRIYA.

Kordinata metodi.To’g’ri chiziq va tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish.Uchburchak va Ko’p burchaklarning yuzi.

MADAQ.Nuqtalar orasidagi masofa,kesmalarni berilgan nisbatta bo’lish,ko’pburchaklarni yuzini hisoblashni o’rganish van tekislikda to’g’ri chiziq tenglamalariga oid amliy ko’nikmalarini hosil qilish. REJA:

1.Kordinat metodi.
2.To’g’ri chiziq va tekislikda ikki nuqta orasidagi masofa.
3.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish.
4.Uchburchak va ko’pburchakning yuzi.
5.To’g’ri chiziqning burchak koefisiyentli tenglamasi.
6.To’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari.
7.Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak va ularning parallellik,perpendikulyarlik shartlari.
8.Berilgan nuqtadan o’tib,berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

9.To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi.

9.To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi.
10.Berilgan ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasi.
11. Berilgan nuqtadan berilgan yo’nalishga o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi.
12.To’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi.
13.To’g’ri chiziqning normal tenglamasi.
14.Nuqtadan to’g’ri chiziqqach bo’lgan masofa.

Tayanch iboralar:kordinatalar sestemasi,nuqta,masofa,nisbatta bo’lish,yuza,burchak koyfessent,burchak,parallel,perpendikulyar,kesma,vektor.Kollinear,normal vektor,yo’naltiruvchi vektor,normal tenglama,kanonik tenglama,normalluvchi ko’paytma.

Tayanch iboralar:kordinatalar sestemasi,nuqta,masofa,nisbatta bo’lish,yuza,burchak koyfessent,burchak,parallel,perpendikulyar,kesma,vektor.Kollinear,normal vektor,yo’naltiruvchi vektor,normal tenglama,kanonik tenglama,normalluvchi ko’paytma.
Adabiyotlar: [1]55-60 betlar.
[2]14-20,87-90 betlar.
1.KOORDINATA METODI.
Analitik geometriya zaminida algebra vositalar bilan geometrik masalalarni yechish imkonini beradigan koordinatalar metodida yotadi.Bu metod birinchi marta fransuz matematigi R.DEKART(1596-1650)tomonidan ifodalab berilgan,shu sababli bu sistema dekart koordinatalar sitemasi deyiladi.

TA’RIF:O’zaro perpendikulyar ikki to’g’ri chiziq,ulardan ko’rsatilgan yo’nalishlar va qabul qilingan masshtab birliklari birgalikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sitemasi deyiladi.

Tekislikda bunday sistema qurilgach,undagi har bir nuqtaning o’rnini topish mumkin.Masalan,tekislikda M nuqta berilgan bo’lsin,(1-chizma).Uning vaziyatini aniqlaylik.M nuqtani Ox o’qdagi proyeksiyasi M1 nuqtadan Oy o’qqacha masofani OM1=x, Ox to’g’ri chiqqacha masofani MM1=y orqali bir qiymatni aniqlab,M nuqtaning vaziyati M(x,y) kabi yoziladi.Bu yerda x M abtsissasi, yM nuqtaning ORDINATASI deb ataladi.Topilgan x va y sonlar M
nuqtaning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari yoki oddiygina,M nuqtaning koordinatalari deyiladi.

Ox-abtsissalari o’qi deyilib,unda o’ngga yo’nalish musbat,

Ox-abtsissalari o’qi deyilib,unda o’ngga yo’nalish musbat,
qarama-qarshi yo’nalish esa manfiy yo’nalish hisoblanadi.
Oy-ordinatalar o’qi deyilib,unda o’nda yuqoriga yo’nalish musbat,
quyidagi yo’nalish esa manfiy deb qabul qilingan.
O(0; 0)-koordinatalar boshi deb ataladi.
Xulosa.Tekislikdagi har bir nuqta bir juft son bilan bir qiymatli ifoda etiladi
va aksincha,bir juft haqiqiy songa tekislikning bitta va faqat bitta nuqtasi mos keladi.
1.IKKI NUQTA ORASIDAGI MASOFA.
M(x1,y1) va N(x2;y2) nuqtalar berilgan bo’lsin (3-chizma).Ular orasida masofa MN ni topish masalasini qo’yamiz
M nuqtadan koordinata o’qlariga MM1 va MM2 perpendikulyar chiziqlar

tushiramiz.U holda OM1=x1 OM2=y1 bo’ladi.Xuddi shuningdek,N nuqtadan koordinata o’qlariga NN1 va NN2 perpendikulyar tushiramiz.U holda ON1=x2, ON2=y2 bo’ladi.M nuqtadan Oy o’qiga parallel chiziqlar o’tkazamiz.Ular kesishgan nuqta K bilan belgilaymiz.Natijada MNK to’g’ri burchakli uchburcakni

tushiramiz.U holda OM1=x1 OM2=y1 bo’ladi.Xuddi shuningdek,N nuqtadan koordinata o’qlariga NN1 va NN2 perpendikulyar tushiramiz.U holda ON1=x2, ON2=y2 bo’ladi.M nuqtadan Oy o’qiga parallel chiziqlar o’tkazamiz.Ular kesishgan nuqta K bilan belgilaymiz.Natijada MNK to’g’ri burchakli uchburcakni
hosil qilamiz.PIFAGOR teorimasiga asosan:
MN²=MN²+NK² (1)
MK va NK kesmalarni berilgan nuqtalarining koordinatalari orqali ifodalaymiz.
MK=M1N1=ON1-OM1=x2-x1
NK=M2N2=ON2-ON2=y2-y1
Bularni (1) ga qo’yamiz. U holda
MN²=(x2-x1)²+(y2-y1)²
yoki N(x1,y1) va M(x2,y2) nuqtalar orasidagi masofa deyiladi.

3.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish Uchlari M(x1;x2) va N(x1;x2) nuqtalardan iborat bo’lgan [MN] kesmani shunday ikki qismga bo’lish kerakki, ulardan birining ikkinchisiga nisbati m: n ga teng bo’lsin, ya’ni [MN] kesmada shunday K nuqtani anig‘lash kerak,

3.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish Uchlari M(x1;x2) va N(x1;x2) nuqtalardan iborat bo’lgan [MN] kesmani shunday ikki qismga bo’lish kerakki, ulardan birining ikkinchisiga nisbati m: n ga teng bo’lsin, ya’ni [MN] kesmada shunday K nuqtani anig‘lash kerak,
bo’lsin.

MPIIOX va KLIIOX to’g’ri chiziqlarini o’tkazamiz. MKP va KLN uchburchaklarining

MPIIOX va KLIIOX to’g’ri chiziqlarini o’tkazamiz. MKP va KLN uchburchaklarining
o’xshashligidan:
(2)
Bo’ladi. Bu yerda m,n-butun musbat sonlar. Chizmadan:
MJP=M1K1=OK1-OM1=x-x1
KL=K1N1=ON1-OK1=x2-x,
PK=M2K2=OK2-OM2=y-y1,
LN=K2N2=ON2-OK2=y2-y.
Bularni (2) ga qo’yamiz:
(4)
(4) Tenglamadan quydagi tengliklarni hosil qilamiz:
(5)
(5)Tengliklarning har birini X va Y ga nisbatan yechamiz:
Bu formula orqali MN kesmani nisbatda bo’luvchi K nuqtaning
koordinatalari topiladi. Agar K nuqta M va N nuqtalarning o’rtasida bo’lsa, ya’ni K
nuqta MN kesmani teng ikkiga bo’lsa, MK:KN=m:n= =1:1 bo’lib, uning koordinatalari quydagi formula orqali topiladi:

B1BCC1 yuzi = (x2-x1).

B1BCC1 yuzi = (x2-x1).
A1ACC1 yuzi = (x3-x1).
Shunday qilib ,
[(y1+y2)(x2-x1)+(y2+y3)(x3-x2)-(y1+y3)(x3-x1)] yoki
[((y1+y2)(x2-x1)+(y2-y3)(x3-x2)+(y3+y1)(x1-x3)] (4)
(4) Uchburchak yuzini uning dekart koordinatalari sistemasidagi uchlari orqali topish for-
mulasi deyiladi. Uchburchakning yuzini hisoblashda natijaning absolyut qiymati olinadi.
Xuddi shunday usul bilan ko’pburchak yuzini ham uning uchlarining koordinatalari orqali
quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin.
[(y1+y2)(x2-x1)+(y2+y3)(x3-x2)+(y3-y4)(x4-x3)+….+(yk+y1)(x1-xk)] (5)
MISOL. Uchlari A(1;1), B(2;4), C(3;3) nuqtalarda bo’lgan uchburchakning yuzini toping.
YECHISH. Shart ko’ra: x1=1, y1=1, x2=2, y2=4; x3=3, y3=3 (4) formulaga asosan topamiz:
[(1+4)(2-1)+(4+3)(3-2)+(3+1)(1-3)]= [5+7+4*(-2)]= *(12-8)= *4=2kv

Umuman aytganda F(x,y)=o (1) ko’rinishdagi tenglama tekislikda biror chiziqni ifodalaydi va aksincha tekislikdagi har qanday chiziq tenglamasi (1) ko’rinishda bo’ladi. Agar (1) da x,y lar birinchi darajada qatnashsa, u holda (1) tenglama albatta biror to’g’ri chiziqni ifodalaydi.Agar x,y lar birinchi darajadan yuqori darajada qatnashsa, u holda (1) tenglama albatta biror egri chiziqni ifodalaydi. 5.TO’G’RI CHIZIQNING BURCHAK KOEFFISIYENTLI TENGLAMASI. Ox o’qining musbat yo’nalishi bilan burchak tashkil qilib, Oy o’qidan b kesma ajratib o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasini tuzaylik. Bu to’g’ri chiziq tenglamasini tuzish degan so’z undagi ixtiyoriy M(x,y) nuqta koordinatalarini o’zaro bog’lovchi tenglamani topish demakdir. OB=b,AM=y-b, AB=x, ABM dan desak y=kx+b.(1) to’g’ri chiziqning burchak koeffisiyentli tenglamasi deyiladi. (2) to’g’ri chiziqning burchak koeffisiyenti deyiladi. K=0 bo’lsa, y=b, b=0 bo’lsa, y=kx bo’ladi. MISOL:b=-2, k=45 bo’lsa, to’g’ri chiziq tenglamasi y=x-2 bo’ladi. Misol. b=-2, k=45 bo’lsa, to’g’ri chiziq tenglamasi y=x-2 bo’ladi.

MISOL.M(-2;2) va N(6;4) nuqtalar berilgan.
shartni qanoatlantiruvchi K nuqtaning koordinatalarini toping
YECHISH.Masala shartiga ko’ra x1 =-2, x2=6. y1=2, y2=4, (6) formulaga ko’ra:
Agar (6) formulada ning o’rniga ni qo’ysak,
formulani hosil qilamiz.
Bu formuladan ko’pincha mexanikadan bir jinsli jismlarning og’irlik markazi koordinatalarining aniqlash hamda parallel kuchlarning markazini topishda foydalaniladi.
4.Uchburchak va ko’pburchakning yuzi.
To’g’ri burchakli koordinatalari sistemasida uchlari A(x1;y1), B(x2;y2) va C(x3;y3) nuqtalarda bo;lgan uchburchak yuzini topish masalasi qo’yilgan bo’lsin. Berilganlarga ko’ra ABS uchburchakni Oxy koordinatalar sistemasida yashaymiz
(5-chizma) ABC uchburchak yuzini quydagicha ifodalashimiz mumkin;SABC=A1ABB1 trapetsiya yuzi +B1BCC1 trapetsiya yuzi – A1ACC1 trapetsiya yuzi.Chizmadan quydagilarni topamiz;

AA1=y1, BB1=y2, cc1=y3 A1B1=x2-x1, B1C1=x3-x2 A1C1=x3-x1. (1)dagi har bir trapitsiyaning yuzini hisoblaymiz: A1ABB1 trapitsiya yuzi= B1BCC1 trapitsiya yuzi= A1ACC1 trapitsiya yuzi= Bu yerda AA1 BB1 va boshqalarning (2) dagi ifodalani keltirib qo’yamiz: A1ABB1 yuzi=

SANOAT FARMATSIYA FAKULTETI 2/1-GURUH TALABASI ORIPOV RAHMADJON E’TIBORINGIZ UCHUN KATTA RAXMAT.

Download 445 b.

Do'stlaringiz bilan baham:

Tekislikdagi analtik geometriya

TEKISLIKDAGI ANALTIK GEOMETRIYA.

Kordinata metodi.To’g’ri chiziq va tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish.Uchburchak va Ko’p burchaklarning yuzi.

MADAQ.Nuqtalar orasidagi masofa,kesmalarni berilgan nisbatta bo’lish,ko’pburchaklarni yuzini hisoblashni o’rganish van tekislikda to’g’ri chiziq tenglamalariga oid amliy ko’nikmalarini hosil qilish. REJA:

1.Kordinat metodi.

2.To’g’ri chiziq va tekislikda ikki nuqta orasidagi masofa.

3.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish.

4.Uchburchak va ko’pburchakning yuzi.

5.To’g’ri chiziqning burchak koefisiyentli tenglamasi.

6.To’g’ri chiziqning umumiy tenglamalari.

7.Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak va ularning parallellik,perpendikulyarlik shartlari.

8.Berilgan nuqtadan o’tib,berilgan vektorga perpendikulyar bo’lgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

9.To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi.

9.To’g’ri chiziqning kanonik tenglamasi.

10.Berilgan ikki nuqtadan o’tgan to’g’ri chiziq tenglamasi.

11. Berilgan nuqtadan berilgan yo’nalishga o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi.

12.To’g’ri chiziqning kesmalar bo’yicha tenglamasi.

13.To’g’ri chiziqning normal tenglamasi.

14.Nuqtadan to’g’ri chiziqqach bo’lgan masofa.

Tayanch iboralar:kordinatalar sestemasi,nuqta,masofa,nisbatta bo’lish,yuza,burchak koyfessent,burchak,parallel,perpendikulyar,kesma,vektor.Kollinear,normal vektor,yo’naltiruvchi vektor,normal tenglama,kanonik tenglama,normalluvchi ko’paytma.

Tayanch iboralar:kordinatalar sestemasi,nuqta,masofa,nisbatta bo’lish,yuza,burchak koyfessent,burchak,parallel,perpendikulyar,kesma,vektor.Kollinear,normal vektor,yo’naltiruvchi vektor,normal tenglama,kanonik tenglama,normalluvchi ko’paytma.

Adabiyotlar: [1]55-60 betlar.

[2]14-20,87-90 betlar.

1.KOORDINATA METODI.

Analitik geometriya zaminida algebra vositalar bilan geometrik masalalarni yechish imkonini beradigan koordinatalar metodida yotadi.Bu metod birinchi marta fransuz matematigi R.DEKART(1596-1650)tomonidan ifodalab berilgan,shu sababli bu sistema dekart koordinatalar sitemasi deyiladi.

TA’RIF:O’zaro perpendikulyar ikki to’g’ri chiziq,ulardan ko’rsatilgan yo’nalishlar va qabul qilingan masshtab birliklari birgalikda to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sitemasi deyiladi.

nuqtaning to’g’ri burchakli dekart koordinatalari yoki oddiygina,M nuqtaning koordinatalari deyiladi.

Ox-abtsissalari o’qi deyilib,unda o’ngga yo’nalish musbat,

Ox-abtsissalari o’qi deyilib,unda o’ngga yo’nalish musbat,

qarama-qarshi yo’nalish esa manfiy yo’nalish hisoblanadi.

Oy-ordinatalar o’qi deyilib,unda o’nda yuqoriga yo’nalish musbat,

quyidagi yo’nalish esa manfiy deb qabul qilingan.

O(0; 0)-koordinatalar boshi deb ataladi.

Xulosa.Tekislikdagi har bir nuqta bir juft son bilan bir qiymatli ifoda etiladi

va aksincha,bir juft haqiqiy songa tekislikning bitta va faqat bitta nuqtasi mos keladi.

1.IKKI NUQTA ORASIDAGI MASOFA.

M(x1,y1) va N(x2;y2) nuqtalar berilgan bo’lsin (3-chizma).Ular orasida masofa MN ni topish masalasini qo’yamiz

M nuqtadan koordinata o’qlariga MM1 va MM2 perpendikulyar chiziqlar

hosil qilamiz.PIFAGOR teorimasiga asosan:

MN²=MN²+NK² (1)

MK va NK kesmalarni berilgan nuqtalarining koordinatalari orqali ifodalaymiz.

MK=M1N1=ON1-OM1=x2-x1

NK=M2N2=ON2-ON2=y2-y1

Bularni (1) ga qo’yamiz. U holda

MN²=(x2-x1)²+(y2-y1)²

yoki N(x1,y1) va M(x2,y2) nuqtalar orasidagi masofa deyiladi.

3.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish Uchlari M(x1;x2) va N(x1;x2) nuqtalardan iborat bo’lgan [MN] kesmani shunday ikki qismga bo’lish kerakki, ulardan birining ikkinchisiga nisbati m: n ga teng bo’lsin, ya’ni [MN] kesmada shunday K nuqtani anig‘lash kerak,

3.Kesmani berilgan nisbatta bo’lish Uchlari M(x1;x2) va N(x1;x2) nuqtalardan iborat bo’lgan [MN] kesmani shunday ikki qismga bo’lish kerakki, ulardan birining ikkinchisiga nisbati m: n ga teng bo’lsin, ya’ni [MN] kesmada shunday K nuqtani anig‘lash kerak,

bo’lsin.

MPIIOX va KLIIOX to’g’ri chiziqlarini o’tkazamiz. MKP va KLN uchburchaklarining

MPIIOX va KLIIOX to’g’ri chiziqlarini o’tkazamiz. MKP va KLN uchburchaklarining

o’xshashligidan:

(2)

Bo’ladi. Bu yerda m,n-butun musbat sonlar. Chizmadan:

MJP=M1K1=OK1-OM1=x-x1

KL=K1N1=ON1-OK1=x2-x,

PK=M2K2=OK2-OM2=y-y1,

LN=K2N2=ON2-OK2=y2-y.

Bularni (2) ga qo’yamiz:

(4)

(4) Tenglamadan quydagi tengliklarni hosil qilamiz:

(5)

(5)Tengliklarning har birini X va Y ga nisbatan yechamiz:

Bu formula orqali MN kesmani nisbatda bo’luvchi K nuqtaning

koordinatalari topiladi. Agar K nuqta M va N nuqtalarning o’rtasida bo’lsa, ya’ni K

nuqta MN kesmani teng ikkiga bo’lsa, MK:KN=m:n= =1:1 bo’lib, uning koordinatalari quydagi formula orqali topiladi:

B1BCC1 yuzi = (x2-x1).

B1BCC1 yuzi = (x2-x1).

A1ACC1 yuzi = (x3-x1).

Shunday qilib ,

[(y1+y2)(x2-x1)+(y2+y3)(x3-x2)-(y1+y3)(x3-x1)] yoki

[((y1+y2)(x2-x1)+(y2-y3)(x3-x2)+(y3+y1)(x1-x3)] (4)

(4) Uchburchak yuzini uning dekart koordinatalari sistemasidagi uchlari orqali topish for-

mulasi deyiladi. Uchburchakning yuzini hisoblashda natijaning absolyut qiymati olinadi.

Xuddi shunday usul bilan ko’pburchak yuzini ham uning uchlarining koordinatalari orqali

quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin.

[(y1+y2)(x2-x1)+(y2+y3)(x3-x2)+(y3-y4)(x4-x3)+….+(yk+y1)(x1-xk)] (5)

MISOL. Uchlari A(1;1), B(2;4), C(3;3) nuqtalarda bo’lgan uchburchakning yuzini toping.

YECHISH. Shart ko’ra: x1=1, y1=1, x2=2, y2=4; x3=3, y3=3 (4) formulaga asosan topamiz:

[(1+4)(2-1)+(4+3)(3-2)+(3+1)(1-3)]= [5+7+4*(-2)]= *(12-8)= *4=2kv

[(1+4)(2-1)+(4+3)(3-2)+(3+1)(1-3)]= [5+7+4(-2)]= (12-8)= *4=2kv