Telekomunikatsiya texnologiyalari va kasbiy ta’lim” fakulteti tt 11-21 guruh 2-bosqich talabasi Yo’ldoshev Sevinchbekning Elektromagnit maydonlar va to’lqinlar fanidan tayyorlagan

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARNI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FILIALI
“TELEKOMUNIKATSIYA TEXNOLOGIYALARI VA KASBIY TA’LIM” FAKULTETI
TT 11-21 guruh 2-bosqich talabasi
Yo’ldoshev Sevinchbekning
Elektromagnit maydonlar va to’lqinlar fanidan tayyorlagan


1-Mustaqil ishi

Topshirdi: YO’LDOSHEV S.

Qabul qildi: RUSTAMOVA M.

Mavzu: EMM vektorlari uchun chegaraviy shartlar.EM, EMM vektorlari, maydon nazariyasi operatorlari. Elektr va magnit maydon vektorlari.
Mavzu: Divergensiya va rotor. Muhitlarning xossalari. Dielektrik va magnit singdiruvchanlik. 1, 2, 3-moddiy tenglamalar, ularning fizik ma’nosi.

EMM dagi zaryad va toklarga kuch ta'sir etadi, ularni siljishi natijsida maydon energiyasi kamayadi. Sinov jismi sifatida maydonni nafaqat aniqlab beruvchi, balki uni o`zgartirib yuboruvchi zaryadlangan kichik jism - nuqtaviy zaryadni ko`rib chiqamiz. Unga EMM da Lorens kuchi deb ataluvchi kuch ta'sir etadi ,

F  q(E [, B],
bunda q, υ - elektr zaryadi va uning harakat tezligi; E(r,t) - elektr maydon kuchlanganligi vektori;
B (r,t) - magnit induksiya vektori; r - fazodagi zaryad joylashgan nuqtaning vektor-radiusi; t - vaqt. Zaryad qo`zg`almas bo`lganda (υ =0), kuch
Fe  q  E ,
ya'ni, E- birlik musbat qo`zg`almas zaryadga EMM ko`rsatgan ta'sir kuchi. E - vektorning o`lchov birligi N/Kl=B/m.
Magnit maydon faqat harakatdagi zaryadlarga (toklarga) ta'sir ko`rsatadi
F q[ B] m  
Agar υ va B o`zaro perpendikulyar bo`lsa, ta'sir kuchi maksimal bo`ladi, agar υ va B yo`nalish bo`yicha mos tushsa, kuch ta'sir ko`rsatmaydi. Shu tariqa vektor B EMM ning harakatlanayotgan zaryadlarga ta'sir etuvchi kuchi orqali aniqlanadi. B - vektorning o`lchov birligi Ns/(Kl·m) =Bc/m2 =Vb/m2 =Tl
Ko`rib chiqilgan E va B vektorlarning tarkibi tashqi maydonning juda kichik zaryadlar va elementar toklarga ko`rsatadigan ta'siri bilan bog`liq. O`lchanayotgan maydonda buzilishlar yuzaga kelmasligi uchun zaryadlarning kam bo`lishi juda muhim. Ammo elektr zaryadi va tok elementi o`zining xususiy elektr hamda magnit maydoniga ega. Zaryad atrofida chiziqlari uning o`zidan boshlanuvchi elektr maydon doim mavjud. Tokli o`tkazgichlar (o`tkazgich elementlari) chiziqlari o`zini o`rab turuvchi xususiy magnit maydoni hosil qiladi. Dielektrik molekulalaridagi bog`liq elementar zaryadlar va magnit materiallardagi elementar magnit maydon materialga singigan EMM ni butkul o`zgartirib yuborishi mumkin. U holda jarayonni yoritib berish uchun qo`shimcha juft vektorlarni kiritish talab etiladi: D (r,t) - elektr induksiya vektori, birligi Kl/m2 ; H (r,t) - magnit maydon kuchlanganlik vektori, birligi A/m. Ushbu vektorlar zaryadning xususiy elektr (magnit) maydoni bilan bog`liqligini ifodalagani uchun manba funksiyalari deb ataladi. Agar fazoning istalgan nuqtasida, istalgan vaqtda E, D, B va H vektorlarning kattaliklari ma'lum bo`lsa, bu yerda EMM aniqlangan deb hisoblanadi. Vektor o`z komponentalari orqali aniqlanganligi sababli, vektorlarning har biri o`zida (masalan, E (x,y,z) vektori) x,y,z va t dan matematik fazoviy-vaqt funksiyalarini ifodalaydi. "Maydon" tushunchasiga rasmiy (matematik) yondashilganda uni fazoning turli nuqtalarida turlicha qiymatlarni qabul qiluvchi fizik kattalik (kuch) deb ko`rib chiqish mumkin. EMM nazariyasi eksperimental faktlarning yig`ilishi va umumlashuvi, shuningdek, vektor tahlilga asoslangan matematik apparatlarning taraqqiy etishi natijasida hosil bo`ldi. EMM asosiy tenglamalaridagi E, D, V va H vektorlar "divergensiya" va "rotor" operatorlari yordamida r va J kattaliklar bilan bog`langan. Fazoning har bir nuqtasidagi elektr zaryadi hajmiy zichlik orqali xarakterlanadi
(1.1) bunda, q- hajmdagi yig`indi zaryad. Maydonning har bir nuqtasidagi zaryadlarning tartibli harakati o`zgaruvchan elektr tokining zichlik vektori orqali ifodalanadi
Ma'lum bir S yuza orqali oqib o`tuvchi umumiy elektr toki skalyar kattalik bo`lib, u Jo`tk bilan integral munosabatda bog`liq
bu yerda, dS- elementar yuza vektori. Yuqoridagi (1.3) integral S yuza orqali o`tuvchi J vektorning oqimi deb ataladi. Demak, elektr tokini berilgan yuzadan oqib o`tuvchi tok zichligining oqimi sifatida ko`rib chiqish mumkin.
Istalgan modda tarkibida tashqi elektr maydon ta'sirida bir molekuladan boshqasiga siljishi mumkin bo`lgan elektr zaryadlari mavjud bo`lishi mumkin. Ya'ni, ular erkin zaryadlar yoki bir molekula oralig`ida siljiydi. Birinchi holatda biz elektronlar va ionlarni metallarda, elektrolitlarda va ionlashgan gazlardagi harakati haqida ma'lumotga egamiz. Dielektrik muhitlarda biz bog`liq zaryadlarni ko`rib chiqamiz. Atom va molekulalardagi bog`liq zaryadlarning aralashishi "muhitning qutblanishi" deb nomlanuvchi hodisani yuzaga keltiradi. qutblanish tashqi maydon E0 ga qarama-qarshi yo`nalgan ichki elektr maydonni hosil qiladi. Shu sababli dielektrik ichiga singigan tashqi maydon kuchsizlanadi. Kuchsizlanish darajasi a  - absolyut dielektrik singdiruvchanlik deb ataluvchi parametr bilan ifodalanadi. Bu parametr EMM ning ikki elektr vektorlarini o`zaro bog`laydi
D   a  E . (1.4)
Keltirilgan tenglama elektrodinamikaning birinchi moddiy tenglamasi deb ataldi. Moddaning erkin elektronlar bilan to`yinishi uning o`tkazuvchanlik tokini hosil qilish xususiyatini ifodalaydi. Bu xususiyat solishtirma elektr o`tkazuvchanlik parametri -  bilan xarakterlanadi. Ushbu parametr Jo`tk va Ye vektorlarni quyidagi tenglik orqali bog`laydi:
Bu tenglama ham elektrodinamikaning moddiy tenglamalari qatoriga kiradi. Zanjirlar nazariyasidan ma'lumki, zanjirning bir qismi uchun Om qonuni (1.5) tenglamaning natijasi hisoblanadi. Shu sababli bu tenglama differensial shakldagi Om qonuni deb ham yuritiladi. Har qanday moddaning tarkibida magnit maydonning manbai hisoblangan berk elementar elektr toki mavjud bo`lib, ularni elektronlarning orbital harakati va spinli aylanishi yuzaga keltiradi. Bu elementar toklar tashqi EMM ta'sirida orientasiyalanadigan magnit momentlariga ega. Berilgan hajmdagi magnit momentining yig`indisi muhitning magnitlanish jarayonini belgilaydi. Magnitlanish miqdoriy jihatdan EMM ning ikki magnit vektorlarini bog`lovchi parametr a - absolyut magnit singdiruvchanlik bilan baholanadi.
B  a  H . (1.6) Bu tenglama elektrodinamikaning uchinchi moddiy tenglamasi hisoblanadi.  a , a,  parametrlar berilgan moddaning fizik-kimyoviy xususiyatlariga, chastotaga, haroratga va ta'sir etuvchi maydonning bosimiga bog`liq. Ularning moqiyati bilan kvant elektrodinamikasi shug`ullanadi. Biz tomondan o`rganilayotgan klassik elektrodinamikada esa muhit yaxlit, EMM xarakterlovchi miqdorlar esa fazoda uzluksiz taqsimlangan. Ya'ni, makroskopik ko`rinishda tasvirlanadi. Makroskopik elektrodinamikada ko`rsatilgan parametrlardan berilgan parametrlar singari foydalaniladi. Moddiy (1.4) va (1.6) tenglamalarda yozilganiga ko`ra,  a , a,  parametrlar skalyar kattalik hisoblanadi. Bunday muhitlar izotrop bo`lib, ularda E va D, H va B, J va E vektorlarning yo`nalishlari mos keladi, muhit xususiyatlari esa vektor yo`nalishlariga bog`liq bo`lmaydi (ya'ni, maydonning tarqalish yo`nalishiga). x 1 = x, x2 = y, x3 = z ko‘rinishda belgilanadi. Bu kattaliklar to‘plami 4-radius-vektor deb ataladi. Koordinata boshida va (ж0, ж1, ж2, ж3) dunyo nuqtasida sodir 32 bo'lgan ikki voqea orasidagi interval (ж*)2 = (ж0)2 - (ж1)2 - (я2)2 - (ж3)2 (1.48) invariant bo'lib, to'rt o‘lchovli koordinatalar sistemasining ixtiyoriy chiziqli burishlarida, xususan Lorentz almashtirishlarida, o'zgarmaydi. Shuning uchun (1.48) ni 4-radius-vektor kvadratining ta ’rifi deb qabil qilingan. Berilgan to 'rtta kattalik (A0, A1, A 2, A3) koordinatalar sistemasi almashtirilganda 4-radius-vektor kabi almashtirilsa, bu kattaliklar to‘plami to‘rt o‘lchovli kontravariant vektor yoki qisqacha kontravariant 4- vektor deyiladi. Kattaliklar esa uning komponentalarini tashkil qiladi va ular uchun Lorentz almashtirishlari quyidagi ko‘rinishda yoziladi: Bu qoida bo'yicha almashinadigan vektor - Lorentz almashtirishlariga nisbatan vektordir. 4-vektorning kvadrati (1.48)'singari quyidagicha aniqlanadi: {A1, A 2, A3} 4-vektorning fazoviy (uch o'lchovli) komponentalari deyivektordir. A0 esa vaqt komponentasi bo‘lib, yuqoridagi burishlarga nisbatan 3-skalyardir. Shu ma’noda 4-vektorni (A0, A ) ko!rinishda yozish mumkin. Kontravariant vektor bilan bir qatorda komponentalari 4-skalyar vektor kiritamiz. Bu vektorning komponentalari kontravariant vektorning komponentalari bilan quyidagicha bog‘langan: A0 = A0, Ai = - A 1, A2 = - A 2, A3 = - A 3. (1.51) Bu kattalik interval singari musbat (vaqtsimon), manfiy (fazosimon) va nolga teng (yorug'liksimon) bo‘lishi mumkin. A2 = A'2. A3 = A/3. (1.49) (A*)2 = (A0)2 - (A1)2 - (A2)2 - (A3)2. (1.50) ladi va uch o‘lchovli fazoda koordinata o'qlarini burishga nisbatan 3- (1.50) ning hosilalari (A;; = д[А1)2/ дА^) bilan aniqlangan kovariant Bu belgilashlarda 4-vektorning kvadrati A*Ai = A°A0 + A 1 A i + A2A 2 + A3A3. (1.52) 3 - Elektrodinamika 33 4-vektorning kvadrati singari ikkita 4-vektorning sakalar ko‘paytmasini aniqlaymiz: A*Bi = A0 B 0 + A 1Bi + A 2B 2 + A3B3. (1.53) Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi 4-skalyar bo'lib. Lorentz almashtirishlariga nisbatan invariantdir. (1.51) ifodadan kontravariant va kovariant 4-vektorlar orasida sodda bog!lanish borligini ko'ramiz. Bu bog'lanishni qoida sifatida ta ’riflanadi: Fazoviy indekslarni (1, 2, 3) yuqoriga ko'tarishda yoki pastga tushirishda 4-vektor komponentalarining ishorasi o‘zgaradi. Bunday amal 0 indeks bilan bog‘liq bo‘lganda vektor komponentasining ishorasi o‘zgarmaydi. Kovariant vektorlar uchun Lorentz almashtirishlarini quyida keltiramiz: а'=аШ ’ ™ Tenzor tushunchasini kiritishda kovariant va kontravariant vektor komponentalarini almashtirish qonunlari asos qilib olinadi. To'rt o‘lchovli fazoda T4 ko‘rinishda berilgan 16 ta kattaliklar koordinatalar sistemasi almashtirilganda ikkita kontravariant 4-vektor komponentalarining ko'paytmasi singari almashtirilsa, bu kattaliklar to'plami 2- rangli kontravariant 4-tenzor deyiladi, kattaliklarning o!zi esa uning komponentalari deb ataladi. Kovariant Tij va aralash T lj 4-tenzorlarga kontravariant 4-tenzor kabi ta ’rif beriladi. Aralash tenzorlarda T lj va Tj3 larni bir-biridan farqlash lozim. Indekslarni yuqoriga ko'tarishda yoki pastga tushirishda vektorlar uchun ta’riflangan qoida bu yerda ham o'rinlidir. Masalan: A 00 = Aoo, A01 = —Aqi, A 12 — A j 2, ■ ■ ■, A°o = Aoo, A °i = — A 01, А 2з = — A2 3 ,..., Tenzor ta ’rifiga ko‘ra 1-rangli tenzor - vektor, 0-rangli tenzor esa skalyar kattalikdir. Yuqori rangli tenzorlarning ta’rifi 2-rangli tenzorning ta’rifiga o‘xshaydi. Tenzor indekslarining o'rinlarini almashtirish natijasida yana tenzor hosil bo'ladi. Indekslaridan ixtiyoriy ikkitasining o‘rnini almashtirish natijasida mos komponentalarining son qiymati va ishoralari o‘zgarmaydigan tenzor shu ikki indeksga nisbatan simmetrik deyiladi. Masalan 3-rangrli tenzor uchun T ljk = T lki bo'lsa, u (j, к) indekslarga 34 nisbatan simmetrikdir. 2-rangli tenzor simmetrik bo‘lsa, T li = T Jl shart o'rinli bo'ladi. Ikkinchi rangli simmetrik 4-tenzorning mustaqil komponentalarining soni o‘nta bo'ladi. Indekslaridan ixtiyoriy ikkitasining o‘rnini almashtirish natijasida mos komponentalarining son qiymati o‘zgarmasdan, faqat ishoralari teskariga o'zgarsa, tenzor shu ikki indeksga nisbatan antisimmetrik deyiladi. Masalan 3-ranrli tenzor uchun T lik = —T tki bo‘lsa, u (j, к ) indekslarga nisbatan antisimmetrikdir. 2-rangli tenzor antisimmetrik bo‘lsa, T4 = —T3% shart o'rinli bo'ladi. Bunday tenzorning diagonal elementlari nolga teng bo‘ladi. Shuning uchun mustaqil komponentalarining soni oltitadir. Simmetrik yoki antisimmetrik bo'lmagan tenzor asimmetrik deyiladi. Lekin ikkinchi rangli har qanday tenzordan simmetrik va antisimmetrik tenzor hosil qilish mumkin. Haqiqatan ham berilgan ixtiyoriy Tij tenzordan yangi tenzor tuzamiz: Sij — ^ (Tij + Tji) . (1.55) Bu tenzor indekslarining о‘mini almashtirishga nisbatan simmetrikdir. Endi o‘sha Tij tenzordan yana boshqa tenzor tuzaylik: ■A-ij = 2 (Tij — Tji). (1.56) Bu tenzor esa indekslarining o!rnini almashtirishga nisbatan antisimmetrikdir. (1.55) va (1.56) ifodalardan quyidagini hosil qilamiz: Tij = Sij + A j i . (1.57) Demak, ikkinchi rangli har qanday tenzorni simmetrik va antisimmetrik qismlarga ajratish mumkin ekan. Tenzorlarning simmetriya xossasi invariantlik xususiyatiga ega: biror koordinatalar sistemasida tenzor simmetrik yoki antisimmetrik bo‘lsa, u bunday xossasini har qanday sistemada saqlab qoladi. 1.8 To‘rt o‘lchovli tezlik va tezlanish Oldingi paragraf natijalariga asoslanib ikkita muhim to'rt o'lchovli vektorlarni - 4-tezlik va 4-tezlanishni aniqlaymiz. Klassik fizikada barcha sanoq sistemalar uchun tezlikning ta ’rifi bir xil bo!lib, radius-vektordan vaqt bo'yicha olingan hosila ko‘rinishida yoziladi. Barcha inersial 35 sanoq sistemalarda vaqt birday o'tganligi sababli hech qanday muammo paydo bo‘lmagan. Nisbiylik nazariyasida vaqt klassik fizikadagidek invariant emas. Turli sanoq sistemalarda vaqt turlicha o'tadi. Shuning uchun bu qoidani to‘g‘ridan to‘g‘ri tatbiq qilib bcrlmaydi. Klassikadagi tezlik ta ’rifini to!rt o‘lchovli tezlik ta ’rifi sifatida qabul qilish uchun 4-radius-vektordan hosilani invariant “vaqt” bo'yicha olish kerak. Bu invariantni shunday tanlashimiz kerakki, v -С с bo‘lganda 4-tezlikning fazoviy komponentalari oddiy tezlikka o'tishi kerak. Bunday skalyar sifatida intervalning yorug'lik tezligiga nisbatini olamiz. Yuqoridagi fikrlarga asosan kontravariant 4-tezlikni quyidagicha aniqlaymiz: i dx1 bu yerda (dx)2 + {dy)2 + (dz)2 v2 . ------------ Щ 2---------- < # = ^ l - ? (L6°) \ j l ~ b dt V? = d\ = - J L = , (1.61) о dz vz . u3 = . (1.62) \ ! 1 ~ ь dt Bu yerda v - moddiy nuqtaning oddiy uch o‘lchovli tezligi. Moddiy nuqta tezligi » « c bo‘lganda и1 ~ г>ж, и2 ~ vy, к3 и vz bo'ladi, ya’ni yuqoridagi talab bajariladi. Kovariant 4-tezlik vektori indekslarni pastga tushurish qoidasiga asosan topiladi. 4-tezlik kvadrati, ya’ni o‘z o‘ziga skalyar ko'paytmasi (1.59)-(1.62) ifodalarga asosan игщ = с2. (1.63) 36 Bu kattalik musbat bo‘lganligi uchun 4-tezlik vaqtsimon vektor bo'ladi. Bu xossa moddiy nuqtalar tezligi yorug‘lik tezligidan katta bo‘laolmasligini ko‘rsatadi. To‘rt o‘lchovli tezlik singari 4-tezlanishni aniqlaymiz: d2u% du1 dr2 dr yoki komponentalarda (1.64) «/> = , ( ! .« ) «(l-S)' 1 _ Vx vx(vv) 1 - 4 , 2 / l _ 2»V » 2 = r ^ + 7 7 ^ ' (W7) 3 Vz Vz( v v ) w = ;---- ^ + — f------ ^ 2 • (i-68) Xususan. t)«c bo‘lganda w1 = vx, w2 = vy va w3 = vz. Bu yerda v va v = dv/ dt mos ravishda uch o‘lchovli tezlik va tezlanish. To‘rt o'lcholi fazoda 4-tezlik va 4-tezlanish bir-biriga ortogonal, ya’ni wlUi = 0. Buni (1.63) ifodadan r bo‘yicha hosila olib isbotlash mumkin. 1.9 1-bobga oid masala va savollar 1. Laboratoriya sanoq sistemasida bir joyda sodir bo'lgan ikki voqea orasidagi vaqt 3 s ga teng: (a) Raketa sanoq sistemasida bu ikki voqea orasidagi vaqt 5 sek bo‘lsa, bu sanoq sistemada voqealar orasidagi fazoviy masofa nimaga teng? (b) Laboratoriya sanoq sitemasiga nisbatan raketaning tezligi nimaga teng? 2. 4-o‘lchovli hajm elementi dfl bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o!tganda qanday almashadi? 37 3. Bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o;tganda 4-o‘lchovli simmetrik tenzor Slk qanday qonuniyat bilan almashadi? 4. Bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tganda 4-o‘lchovli antisimmetrik tenzor Azk qanday qonuniyat bilan almashadi? 5. Ixtiyoriy 2-rangli tenzor T lk ni simmetrik (Slk = S kl) va antisimmetrik (A%k — —Akl) tenzorlar yig‘indisi ko'rinishida tasvirlang. Bunday tasvir yagona ekanhgiga ishonch hosil qiling. 6. Simmetrik tenzorning antisimmetrik tenzorga ko‘paytmasi doimo nolga teng bo'lishini isbotlang. 7. К' sanoq sistema К sanoq sistemasiga nisbatan Ox o‘qi bo!ylab V tezlik bilan harakatlanayotgan bo‘lsin. К' da {x'0,y'0, z'0) nuqtada tinch turgan soat t'a vaqtni ko‘rsatayotganda К dagi (.To, yo, Zq) nuqtada turgan soatning oldidan o'tadi. Bunda К dagi soat to ni ko'rsatayotgan bo‘lsin. Shu hoi uchun Lorentz almashtirishlarini yozing. 8. Inersial sanoq sistema К ga nisbatan К ’ sistema V tezlik bilan harakatlanmoqda. Har bir sistemaning koordinata boshida turgan soatlar ustma - ust tushganda bir xilt = t' = 0 vaqtni ko!rsat.gan. Keyingi vaqtlarda har bir sistemada huddu shunday xossali dunyo nuqtalari qanday koordinatalarga ega bo!ladi, ya’ni har bir sistemaning qaysi nuqtasida turgan soatlar t = t' vaqtni ko:rsatadi? Shu nuqt.aning harakat qonuni aniqlang. 9. К' sanoq sistemaning К ga nismatan tezligi V ning yo!nalishini ixtiyoriy deb 4-radius-vektor uchun Lorentz almashtirishlarini yozing. (1.27) formulani umumlashtiring.) 10. К' sanoq sistemasining К ga nisbatan tezligi V ning yo'nalishini ixtiyoriy deb ataladi.
Zamonaviy O`YuCh texnikasida dielektrik yo`qotishli, yuqori elektr mustahkamlikka ega va oson qayta ishlanadigan polietilen, polistirol, ftoroplast kabi dielektriklar qo`llaniladi. Shuningdek, yuqori chastotali keramika, shisha, konstruksion plastmassalar va boshqalar. Dielektrik materiallar a  parametr bilan xarakterlanadi. Qabul qilingan SI birlik tizimiga muvofiq quyidagicha ifodalash mumkin:
O`YuCh qurilmalari konstruksiyalaridagi o`tkazuvchi materiallar yuqori  elektr o`tkazuvchanlikka ega bo`lishlari kerak. Chastotaning o`ta yuqori qiymatlarida to`lqin o`tkazgichdagi toklar EMM aylangan holda faqat metallning sirtidan oqib o`tadi. Yupqa sirt qatlami energiya uzatilishida yo`qotishlarga uchraydi. Bu yo`qotishlar chastota va a parametr ortishi bilan ortib boradi. Maksvell o`z davrining (1864 yil) elektromagnitizm va eksperemental elektrodinamika nazariyalarini bir qator tenglamalarda umumlashtirdi. Keyinchalik aniqlanishicha faqatgina to`rtta tenglamasi asos va mustaqil hisoblanadi. Maksvell tenglamalari zamonaviy klassik elektrodinamikaning asosi hisoblanadi. Bu tenglamalar universal hisoblanib, ular yordamida moddiy tenglamalar bilan birgalikda elektrodinamikaning har qanday masalasini nazariy yechish mumkin . Quyida Maksvell tenglamalarining tarkibi ko`rib chiqilgan bo`lib, ular zamonaviy CI birliklar tizimida va vektor analizining matematik operasiyalarida ifodalangan. Ko`rib chiqish "eng oddiyidan o`ta murakkabga" prinsipiga asoslangan. Maksllvelning 3-tenglamasi elektrostatikadagi Gauss tenglamasidan ma'lum bo`lgan elektr zaryadlarning vaqt davomida o`zgarishi uchun umulashtirish hisoblanadi. Shuningdek, maydonning har bir nuqtasidagi D vektorining divergensiyasi son jihatidan shu nuqtadagi erkin zaryadlarning hajm zichligiga teng. Agar, div D>0 bo`lsa zaryad musbat bo`lib, D ning kuch chiziqlari shu nuqtadan chiqadi. bo`lgan nuqtada esa kuch chiziqlari mos keladi va stok hosil bo`ladi.