Тема №9. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Тема №9.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
План:

1. 
   Интерполяционный многочлен Лагранжа
   
2. 
   Интерполяционный многочлен Ньютона
   

Ключевые слова: Интерполяция, узлы интерполяции, аппроксимация, экстраполяция, интерполирующая функция, многочлен Ньютона, многочлен Лагранжа.


Интерполяционный многочлен Лагранжа
Интерполяция - способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.
В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, можно вычислить значения функции f(x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции f(x) даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).
Пусть имеется n значений x_i, каждому из которых соответствует свое значение y_i. Требуется найти такую функцию F, что:
F(x_i) = y_i , i= 0, 1 , . . . , n.
При этом:
• х_i называют узлaми интерполяции;
• пары (х_i, у_i) называют точками данных;
• разницу между соседними значениями (х_i - x_i-1 ) называют шагом;
• функцию F(x) - интерполирующей функцией или интерполянтом.
Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в некоторых точках восстановить ее значения в остальных точках отрезка. Функция F называется интерполирующей, точки х₀ , х₁ , х₂ , … , x_n - узлами интерполяции.
Будем искать функцию F в виде многочлена степени n:

Можно найти коэффициенты а_i , i = 0, 1 , ... , n, при этом получим систему из (n + 1 ) уравнения с (n + 1 ) неизвестными

Эта система имеет единственное решение, так как по нашему предположению все Х; различны. Решая эту систему относительно неизвестных а₀ , а₁ , …, a_n, получим аналитическое выражение многочлена.
Описанный прием можно использовать при решении задач интерполирования, но на практике используют другие более удобные и менее трудоемкие методы.
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Пусть функция у = f(x) задана таблицей. Построим интерполяционный многочлен L_n(x), степень которого не больше n и выполняются условия: L_n(x_i) = y_i, i = 0, 1, ... , n. Будем искать L_n(x) в виде

где р_i(х) - многочлен степени n;
, т. е. р_i(х) только в одной точке отличен от
нуля при i = j, а в остальных точках он обращается в нуль. Следовательно, все эти точки являются для него корнями:


Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По исходной таблице формула позволяет весьма просто составить внешний вид многочлена.
Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблично