Tema: Funkciya tuwindisi Jobasi

Tiykarǵi bólim.
Bòlshekti ózin bolsa ayırmalı koefficient dep ataydı. Mısal. Bul f (x) = x birlik funksiyanı qaraylıq. Belgili, f (a + h) − f (a) = (a + h) − a = h.Sol sebepli, f (a + h) − f (a) = h = 1 hám sonday eken, qálegen a R noqat ushın f ′ (a) = 1 eken.Mısal. Bul f (x) = x2 kvadratik funkciyanı qaraylıq. Ol halda f(a+h)-f(a)=(a+h)2−a2=2. Sol sebepli, f (a + h) − f (a) = 2 ah + h2 hám sonday eken, qálegen a ∈ R noqat ushın
eken. f′(a)=lim(2a+h)=2 a h→0 Eger funksiya a noqatda tuwındına iye bolsa, bul funksiyanı a noqatda diffirensiallawshi dep ataladı. Mısallarda qaralgan funksiyalar hár qanday noqatda differensiallaniwshilar. Mısal. Eger D (x) Dirixle funksiyası bolsa,
f(x)=x2D(x) funksiya x = 0 noqatda differensiallaniwshi bolıp tabıladı .
Sol sebepli,bul bolsa f ′ (0) = 0 ekenin ańlatadı. Atap kórsetiw zárúr, bul funksiya noldan basqa hesh qanday noqatda differensiallaniwshi emes. Esletpe. Ayqınki, f funksiyanıń a noqat daǵı tuwındı tariypini tómendegishe de jazıw múmkin:Rasında, eger h = x a dep jazıp alsaq, hám tariyplerdiń óz-ara teń kúshli ekeni ayqın boladı. Berilgen a noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan f funkysiya sol noqatda differentsiallanuvchi bolıwı ushın tómendegi teńlikti qánaatlantıratuǵın ózgermeytuǵın A sannıń hám a noqatda sheksiz kishi bolǵan α (x) funksiyanıń ámeldegi bo'lshi zárúr hám jetkilikli. Belgili shártni tómendegi kóriniste jazıw múmkin, bunda x a de α (x) 0. Bul teńlik, shubhasız, shep tárep degi kasrning limiti ámeldegi bolıp, ol A sanına teń ekenligine ekvivalent bolıp tabıladı, yaǵnıy, tuwındısina kóre, f′(a)=A teńlikke ekvivalent bolıp tabıladı. Eger a noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan f funksiya sol noqatda diffirensiallawshi bolsa, a noqatda sheksiz kishi bolǵan sonday α (x) funksiya tabıladıki, ol ushın teńlik atqarıladı. f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + α (x) (x − a). Eger funksiya qandayda bir noqatda diffirensiallawshi bolsa, ol sol noqatda úzliksiz boladı. Rasında, tikkeley teńlikten x a bolǵanda f (x) f (a) ekeni kelip shıǵadı. Bul bolsa f funksiyanıń a noqatda úzliksiz ekenin ańlatadı. Eger f funksiya qandayda bir (a, b) intervaldıń hár bir noqatında diffirensiallawshi bolsa, qálegen x (a, b) noqatda f ′ (x) san anıqlanǵan boladı. Basqasha aytqanda, (a, b) intervalda x f ′ (x) funksiya ámeldegi bo'lar eken. Mine sol funksiya f funksiyanıń tuwındılıq funksiyası, yamasa ápiwayılastırıp tuwındı dep ataladı.Berilgen f funksiyanıń tuwındın f ′ (x) simvol arqalı belgilewdi frantsuz matematigi J. L. Lagranj kirgizgen. Funksiya tuwındı ushın kóp isletiletuǵın taǵı bir belgilewdi nemis matematigi G. v. Leybnits kirgizgen bolıp, ol tómendegilerden ibarat. Sol sebepli, bul bolsa f′(0)=0 ekenin ańlatadı.Atap kórsetiw zárúr, bul funksiya noldan basqa hesh qanday noqatda diffirensiallawshi emes. Bizge belgili f funksiyanıń a noqat daǵı tuwındı tariypini tómendegishe de jazıw múmkin: Rasında, eger h = x a dep jazıp alsaq, tariyplerdiń óz-ara teń kúshli ekeni ayqın boladı. Teorema. Berilgen a noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan f funkysiya sol noqatda differentsiallanuvchi bolıwı ushın tómendegi teńlikti qánaatlantıratuǵın ózgermeytuǵın A sannıń hám a noqatda sheksiz kishi bolǵan α (x) funksiyanıń ámeldegi bo'lshi zárúr hám jetkilikli. Belgili shártler tómendegi
f (x) − f (a) x − a = A + α (x) kóriniste jazıw múmkin, bunda x a de α(x) 0. Bul teńlik, shubhasız, shep tárep degi kasrning limiti ámeldegi bolıp, ol A sanına teń ekenligine ekvivalent bolıp tabıladı, yaǵnıy, tuwındınıń tariypiga kóre, f ′ (a) = A teńlikke ekvivalent bolıp tabıladı. Eger a noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan f funksiya sol noqatda diffirensiallawshi bolsa, a noqatda sheksiz kishi bolǵan sonday α(x)funksiya tabıladi, ol ushın teńlik atqarıladı.
f (x) = f (a) + f ′ (a) (x − a) + α(x) (x − a)
Eger funksiya qandayda bir noqatda diffirensiallawshi bolsa, ol sol noqatda úzliksiz boladı. Rasında, tikkeley teńlikten x a bolǵanda f (x) f (a) ekeni kelip shıǵadı. Bul bolsa f funksiyanıń a noqatda úzliksiz ekenin ańlatadı. Eger f funksiya qandayda bir (a, b) intervaldıń hár bir noqatında diffirensiallawshi bolsa, qálegen x (a, b) noqatda f ′ (x) san anıqlanǵan boladı. Basqasha aytqanda, (a, b) intervalda x f ′ (x) funksiya ámeldegi bo'lar eken. Mine sol funksiya f funksiyanıń tuwındılıq funksiyası, yamasa ápiwayılastırıp tuwındı dep ataladı. Berilgen f funksiyanıń tuwındın f ′ (x) simvol arqalı belgilewdi frantsuz matematigi J. L. Lagranj kirgizgen. Funksiya tuwındı ushın kóp isletiletuǵın taǵı bir belgilewdi nemis matematigi G. v. Leybnits kirgizgen bolıp, ol tómendeginen ibarat: Eger f hám g funksiyalar a noqatda diffirensiallawshi bolsa, olardıń kóbeymesi f (x) g (x) da sol noqatda diffirensiallawshi bolıp, tómendegi teńlik atqarıladı
F (x) − F (a) = [f (x) − f (a) ]g (x + f (a)[g (x) − g (a) ]teńlikti alamız hám sol sebepli, F (x) − F (a) = f (x) − f (a) g (x) + f (a) g (x) − g (a).
x − a nátiyjesine kóre, g (x) funksiya, hár qanday diffirensiallawshi funksiya sıyaqlı, a noqatda úzliksiz bolıp tabıladı, yaǵnıy x a de g (x) g(a). Sonday eken, x a de limitga ótip, aqırǵı teńlikten talap qılınıp atırǵan munasábetti payda etemiz: F ′ (a) = f ′ (a) g (a) + f (a) g′ (a)
Koefficienttiń tuwındı jáne de quramalılaw kóriniske iye. Eger g funksiya a noqatda diffirensiallawshi bolıp, g (a) = 0 bolsa, g (x) funksiya a noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan bolıp, sol noqatda differensiallaniwshi boladı hám tómendegi teńlik atqarıladı. Nátiyjesine tiykarlanıp g (x) funksiya a noqatda úzliksiz hám sol sebepli ol, a noqattıń qandayda bir átirapında nolden ayrıqsha bolıp tabıladı. Sonday eken, sol átirapda eger koefficient anıqlanǵan eken.
F (x) − F (a) = 1 − 1 = g (a) − g(x) teńlikti alamız. Sonday eken, F (x) −F (a) x − a = g (x) − g (a) x − g (x) Bul teńlikte x → a dep limitga ótsek, talap etilgen teńlikti alamız. Eger funksiya qandayda bir noqatda diffirensiallawshi bolsa, ol sol noqatda úzliksiz boladı. Rasında, tikkeley teńlikten x a bolǵanda f (x) f (a) ekeni kelip shıǵadı. Bul bolsa f funksiyanıń a noqatda úzliksiz ekenin ańlatadı. Eger f funksiya qandayda bir (a, b) intervaldıń hár bir noqatında diffirensiallawshi bolsa, qálegen x (a, b) noqatda f ′ (x) san anıqlanǵan boladı. Basqasha aytqanda, (a, b) intervalda x f ′ (x) funksiya ámeldegi bo'lar eken. Mine sol funksiya f funksiyanıń tuwındılıq funksiyası, yamasa ápiwayılastırıp tuwındı dep ataladı. Berilgen f funksiyanıń tuwındın f ′ (x) simvol arqalı belgilewdi frantsuz matematigi J. L. Lagranj kirgizgen. Funksiya tuwındı ushın kóp isletiletuǵın taǵı bir belgilewdi nemis matematigi G. v. Leybnits kirgizgen bolıp, ol tómendeginen ibarat: Eger f hám g funksiyalar a noqatda diffirensiallawshi bolsa, olardıń kóbeymesi f (x) g (x) da sol noqatda diffirensiallawshi bolıp, tómendegi teńlik atqarıladı hám teńlikti alamız hám sol sebepli,
x − a nátiyjesine kóre, g (x) funksiya, hár qanday diffirensiallawshi funksiya sıyaqlı, a noqatda úzliksiz bolıp tabıladı, yaǵnıy x a de g (x) F ′ (a) = − g′ (a). Teorema. Eger f hám g funksiyalar a noqatda differensiallaniwshi bolıp, f (x), g (a) 0 bolsa, koefficient de sol noqatda diffirensiallawshi boladı hám tómendegi g(x) teńlik atqarıladi. Biz bul kasrni tómendegi kórinistegi kóbeytpe dep qarawımız múmkin: Sonday eken, kóbeytpeni diffirensiallawshi haqqındaǵı teoremani hám Lemmani qollap, talap etilgen teńlikti alamız. Quramalı funksiyanı differensiallaw aldınǵı baptın quramalı funksiyalardı úyrenemiz. Mısalı, y = f (x) funksiya qandayda bir E R intervalda anıqlanǵan bolsın. Bunnan tısqarı, x = ϕ (t) funksiya M R intervalda anıqlanǵan bolıp, onıń bahalar kompleksi E de yotsin. Bul bandda biz M jıynaqta anıqlanǵan hám hár bir t M sanǵa bahanı uyqas qoyıwshı f (ϕ) funksiyanı úyrenemiz. Teorema. Eger ϕ funksiya a ∈ M noqatda diffirensiallawshi bolıp, f funksiya bul noqatqa uyqas diffirensiallawshi bolsa, ol halda quramalı funksiya a noqatda diffirensiallawshi boladı hám F ′ (a) = f ′ (b) • ϕ′ (a) (4. 1. 15) teńlik atqarıladı. Ekenin aytıw kerek, f funksiya b noqatda differensialllanuvchi bolsa, (4. 1. 10 ) ga kóre, b noqatda sheksiz kishi bolǵan sonday α (x) funksiya tabıladıki, ol ushın
f (x) − f (b) = [f ′ (b) + α (x) ] • (x − b) (4. 1. 16 )
teńlik atqarıladı. Eger x = ϕ (t) dep, b = ϕ (a) ekenin esapqa alsaq,teńlikti alamız. Bul teńlikte t a dep limitga ótsek, talap etilgen teńlik payda boladı. Bizge berilgen y=f (x) funksiya x nuqta jáne onıń átirapında anıqlanǵan bolsin. Argument x ning qandayda bir manisida y=f (x) funksiya anıq mániske iye baladı, biz uni M0 (x0; y0) dep belgileylik. Argumentga Dx orttirma beremiz hám nátiyje funksiyaning y+Dy=f (x+Dx) arttırılǵan manisi togri keledi. Bul noqatni M1 (x+Dx, y+Dy) dep belgileymiz va M0 kesuvchi otkazib onıń OX oqining oń jónelisi menen sho'lkemlesken múyeshini j bilan belgileymiz. Endiliktelikte nisbatni qaraymız. Suwretden korinadiki, ga teń. Eger Dx®0 ge, al halda M1 nuqta iymek sızıq boyicha háreketlenip, M0 nuqtaga jaqınlasha baradı. M0 M1 kesuvchi ham Dx®0 de az jaǵdayın ozgartira baradı, atap aytqanda j burchak de ozgaradi hám nátiyjede j burchak a burchakka ıntıladı. M0 M1 kesuvchi bolsa M0 nuqtadan otuvchi urınba jaǵdayına ıntıladı. Urınbanıń múyesh koefficiyenti to'mendegishe tabıladı. Sanday eken, yaǵnıy, argument x ning berilgen manisida hosilaning manisi f (x) funksiyanıń grafigiga onıń M0 (x0;y0) noqatı daǵı urınbaning OX oqining oń yonalishi menen payda etgen múyesh tangensine, yaǵnıy múyesh koeffitsiyentiga teng.
Tuwındıning mexanik manosi tezlikti ańlatadı, yaǵnıy t noqati waqtt ishindegi S aralıqtı basıw ushın háreketdegi tezligin tabıwdan ibarat. Diffirensiallawshi, onıń asosiy qaǵıydalari va formulaları berilgen f (x) funksiyadan tuwındı tabıw ámeli sal funksiyanı diffirensiallawshi dep ataladı.Diffirensiallawshiniń tiykarǵı qaǵıydaları:
1. Ózgarmas muǵdardıń tuwındı nolge teń, yaǵnıy agar y=c bolsa (c=const) y'=0 boladi.
2. Ózgermeytuǵın kopaytuvchini tuwındı belgisinen tısqarına shıǵarıw múmkin:y=cu (x) bolsa y'=cu' (x) baladı.
3. Shekli sandaǵı differensiallanuvchi funksiyalar yigindisining tuwındı sal funksiyalar tuwındılarınıń yigindisiga teń:
4. Eki differensiallaniwshi funksiyalar kopaytmasining tuwındı birinshi funksiya tuwındınıń eginwi funksiya menen kopaytmasi hám de birinshi funksiyanıń eginwi funksiya tuwındı menen kopaytmasining yigindisiga teń. y=u.
5. Eki differensiallaniwshi funksiyalar bolinmasining tuwındı (kasrda ańlatılıp ) bolinuvchi funksiya tuwındın boluvchi funksiya menen kopaytmasi hám de bolinuvchi funksiyanı boluvchi funksiya tuwındı menen kobeymesiniń ayırmasın bóliwshi (bólim degi) funksiya kvadratınıń qatnasına teń.
6. Aytayliq, y=F (o) quramalı funksiya bolsin, yaǵnıy y=F (o), yaki ol ózgeriwshi, aralıq argumenti dep ataladı. y=F (o) hám differensiallaniwshi funksiyalar bolsin. Áwele, tuwındı túsinigin haqqında pikirlerdi bayan etemiz. Funksiyanıń tuwındı differensial esaplawdıń tiykarǵı túsinigi bolıp tabıladı. Belgilengen noqatda funksiyanıń ózgeris tezligin xarakteristikalaydı. Tuwındı matematika, fizika hám basqa pánlerdiń qatar máselelerin sheshiwde, ásirese, hár túrlı túrdegi processler tezligin úyreniwde keń qollanıladı. Birinshiden, biz funksiyanıń úzliksizligi hám differensiallaniwshiliǵi ortasındaǵı baylanıslılıqtı keltiremiz. Bunday teorema ámeldegi eger 𝑦 = 𝑓 (𝑥) funksiya 𝑥 = 0 noqatda differensiallanuvchi bolsa, ol halda bul noqatda úzliksiz ham bolıp tabıladı. Soraw sonda, bunıń hákisi barma? Eger funkciya 𝑥 = 0 de úzliksiz bolsa, onıń sol noqatda tuwındı barma? Sonı atap ótiw kerek, oqıwshılarǵa úzliksiz funksiya bolǵan, lekin tuwındı ámeldegi bolmaǵan funksiyalar haqqında bir qansha mısallar tusintiriledi. Kóplegen maqalalarda keltirilgen van der vaerden mısalı buǵan mısal retinde kóriledi. Siz sheńberdiń urınbası túsinigi menen tanıssız. Sheńberge ótkerilgen urınba sol sheńber menen birden-bir ulıwma noqatqa iye, sonıń menen birge sheńber tuwrı sızıqtıń bir tárepinde jaylasqan bo'lar edi. Endi tegislikte qálegen iymek sızıq berilgen bolsa, oǵan ótkerilgen urınbanı qanday anıqlaw múmkin degen máseleni qarayiq. Urınbanı iymek sızıq menen birden-bir ulıwma noqatqa iye bolǵan tuwrı sızıq retinde anıqlaw múmkin emes, sebebi, mısalı y=ax2 parabolaniń o'qi parabola menen tek bir ulıwma noqatqa iye, lekin parabolaga urınbaydı. Bòlshekti ózin bolsa ayırmalı koefficient dep ataydı. Mısal. Bul f (x) = x birlik funksiyanı qaraylıq. Belgili, f (a + h) − f (a) = (a + h) − a = h.Sol sebepli, f (a + h) − f (a) = h = 1 hám sonday eken, qálegen a R noqat ushın f ′ (a) = 1 eken.Mısal. Bul f (x) = x2 kvadratik funkciyanı qaraylıq. Ol halda f(a+h)-f(a)=(a+h)2−a2=2. Sol sebepli, f (a + h) − f (a) = 2 ah + h2 hám sonday eken, qálegen a ∈ R noqat ushın
eken. f′(a)=lim(2a+h)=2 a h→0 Eger funksiya a noqatda tuwındına iye bolsa, bul funksiyanı a noqatda diffirensiallawshi dep ataladı. Mısallarda qaralgan funksiyalar hár qanday noqatda differensiallaniwshilar. Mısal. Eger D (x) Dirixle funksiyası bolsa,
f(x)=x2D(x) funksiya x = 0 noqatda differensiallaniwshi bolıp tabıladı .
Sol sebepli,bul bolsa f ′ (0) = 0 ekenin ańlatadı. Iymek sızıq urınba tuwrı sızıqtıń bir tárepinde jaylasıwı muhim ózgeshelik emes, sebebi y=ax3 egri sızıqqa abssissa o'qi (0;0) noqatda urınadı, lekin iymek sızıq bul o'qni sol noqatda kesip ótedi. Urınbanıń iymek sızıq menen birden-bir ulıwma noqatqa ıyelewi de onıń áhmiyetli bola almaydı. Mısalı x=1 tuwrı sızıq y=sinx sinusoida menen sheksiz kóp ulıwma noqatqa iye.
Urınbaǵa anıqlama beriw ushın limit túsiniginen paydalanıwǵa tuwrı keledi. Shama menen oylayıq G qandayda bir iymek sızıq yoyi, M0 shu iymek sızıqtıń noqatı bolsın. Iymek sızıqqa tegishli N noqattı tańlap, M0 N kesetuǵın ótkeremiz. Eger N noqat iymek sızıq boylap M0 nuqtaga jaqınlashsa, M0 N kesetuǵın M0 nuqta átirapında búriladi. Sonday jaǵday bolıwı múmkin, N noqat M0 nuqtaga jaqınlasqan

jaǵdayǵa umtılıwı múmkin. Bul halda M0 T tuwrı sızıq G iymek sızıqtıń M0 nuqtasidagi urınbası dep ataladı. Eger kesetuǵındıń limit jaǵdayı ámeldegi bolmasa, ol halda M0 nuqtada urınba ótkeriw múmkin emes dep ataladı. Bunday hal M0 nuqta iymek sızıqtıń qaytıw noqatı yamasa sınıw (ótkirleniw) noqatı bolǵanda orınlı boladı. Biz aldınǵı paragraflarda tuwındı túsinigin túrli fizikalıq máselelerdi sheshiwde, urınba teńlemesin jazıwda paydalandıq. Tuwındınıń basqa qollanıwların kelesinde úyrenemiz. Bul degeni hár túrlı máselelerde gezlesiwi múmkin bolǵan hár qıylı funksiyalardıń tuwındıların esaplawdı biliw zárúr ekenligin ańlatadı. Bul paragrafda u (x) va v (x) funksiyalarning tuwındıların bilgen halda olardıń jıyındısı, kóbeymesi hám bólindiniń tuwındıların tabıwdı úyrenemiz. Tómende keltirilgen teoremalar tastıyıqında tuwındı tabıw algoritmınan, limitga iye bolǵan funksiyalar ústinde arifmetik ámeller haqqındaǵı teoremalardan paydalanamız. Sonıń menen birge ∆u=u (x+∆x)-ol (x) va ∆v=v (x+∆x)-v (x) ekanligini esapqa alǵan halda, u (x+∆x) =u (x) +∆u, v (x+∆x) =v (x) +∆v tengliklardan paydalanamız. o(x) va v(x) funksiyalar (a, b) intervalda anıqlanǵan bolsın. A(x) hám v(x) funksiyalardinń x∈ (a, b) noqatda tuwındılarimavjud bolsa, u holda f(x)=u (x) +v (x) funksiyaning ham x nuqtada tuwındı ámeldegi hám nátiyjelerinen paydalanǵan halda tómendegi qaǵıydanıń da orınlı ekenligin kóriw qıyın emes. Shekli sandaǵı differensiallaniwshi funksiyalar sızıqlı kombinatsiyasınıń tuwındı tuwındılardıń naǵız ózinday sızıqlı kombinatsiyasına teń, yaǵnıy bul qaǵıydanıń tastıyıqın oqıwshılarǵa silteme etemiz.


Juwmaq.
Joqarıdaǵı teoremalar funksiyalar jıyındısı, kóbeymesi, bólindiniń tuwındına ıyelewiniń yyetarli shártlerin ańlatadı. Sonday eken, eki funksiya jıyındısı, ayırması, kóbeymesi hám qatnasınan ibarat bolǵan funksiyanıń tuwındına ıyelewinen bul funksiyalardıń hár biri tuwındına ıyelewi mudamı kelip chiqavermaydi. Mısalı, u (x) =|x|, v (x) =|x| deb, olardıń kóbeymesin tuzsak, y=x2 ko'rinishdagi funksiya payda boladı. Bul funksiyaning ∀x∈ (-∞;+∞) noqatda, atap aytqanda, x=0 noqatda tuwındı bar. Biraq, ekenin aytıw kerek y=|x| funksiyaning x=0 noqatda tuwındı joq. Quramalı funksiyanıń tuwındı. Aytaylik, u= F(x)funksiya (a, b) intervalda, y=f (ol) funksiya bolsa (c;d) da anıqlanǵan bolıp, bul funksiyalar járdeminde y=f (ϕ (x)) murakkab funksiya dúzilgen bolsın (bunda, álbette, x∈ (a, b) da u= F(x)∈ (c, d) bo'lishi talap etiledi). A=ϕ (x) funksiyax∈ (a, b) noqatda tuwındına iye, y=f (ol) funksiya bolsa u= F(x)nuqtada tuwındına iye bolsa, u halda funksiya x nuqtada tuwındına iye hám formula orınlı boladı. u=F(x) funksiyaxnuqtada tuwındına iye bolǵanlıǵı ushın onıń noqatindaǵi arttırıwın formuladan paydalanıpkóriniste yozish múmkin, bul erda ∆x→0 da α→0. Soǵan uqsas, y=f (l) funksiyaning u nuqtadagi arttırıwın kóriniste jazıw múmkin, bunda ∆u→0 da β→0.Sońǵı teńlikdagi ∆u o'rniga onıń tenglik menen anıqlanǵan ańlatpasın qóyamız. Nátiyjed teńlikke iye bolamız. Eger ∆x→0 bolsa, teńlikdan α→0 va ∆u→0 bolıwı, agar ∆u→0 bolsa, ol halda teńlikdan β→0 ekenligi kelip shıǵadı. Bulardan bolsa ∆x→0 da f' (ol) α+ϕ' (x) β+αβ cheksiz kishi funksiya ekanligi kelip shıǵadı, onı γ menen belgileymiz.


Paydalanilǵan ádebiyatlar
1. T. Azlarov, H. Mansurov. Matematikalıq analiz. 1t;1994.

2. T. Azlarov, H. Mansurov. Matematikalıq analiz. 2t;1989.

3. L. D. Kudratesov. Kurs matematika analiz. I-bólim1988

4. L. D. Kudratesov. Kurs matematika analizá.II bólim1988.

5. Berman I. D. Sbornik Kurs matematika analiz 1985.

6. A. Sádullayev, H. Mansurov, G. Xudaybergenov, A. Miyrasxorov, R. Gulomov. Matematikalıq analizdan mısal hám máseleler toplami. T.Oqitiwshi. 1995