Тема: Принцип неопределенности Гейзенберга. Основные представления общей теории относительности. Принцип эквивалентности. Красное смещение. Модель вселенной

Определение принципа неопределенности Гейзенберга
Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определённому распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что:
,
где  — постоянная Дирака. В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в случае нормального распределения переменных, приводит для произведения неопределённостей к большей нижней границе  . Отметьте, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда p будет известен только приблизительно, или наоборот может быть определён точно, в то время как x — нет. Во всех же других состояниях, и x и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой) точностью.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем неопределённость потому, что значение  чрезвычайно мало.
Было развито множество дополнительных характеристик, включая описанные ниже:
Выражение конечного доступного количества информации Фишера
Принцип неопределённости альтернативно выводится как выражение неравенства Крамера — Рао в классической теории измерений. В случае когда измеряется положение частицы. Средне-квадратичный импульс частицы входит в неравенство как информация Фишера.
Обобщённый принцип неопределённости Гейзенберга
Принцип неопределённости не относится только к координате и импульсу. В своей общей форме, он применим к каждой паре сопряжённых переменных. В общем случае, и в отличие от случая координаты и импульса, обсуждённого выше, нижняя граница произведения неопределённостей двух сопряжённых переменных зависит от состояния системы. Принцип неопределённости становится тогда теоремой в теории операторов, которую мы здесь приведем
Теорема. Для любых самосопряжённых операторов:  и  , и любого элемента x из Hтакого, что ABx и BAx оба определены (то есть, в частности,Ax и Bx также определены), имеем:

Это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского.
Следовательно, верна следующая общая форма принципа неопределённости, впервые выведенная в 1930 г. Говардом Перси Робертсоном и (независимо) Эрвином Шрёдингером:

Это неравенство называют соотношением Робертсона — Шрёдингера.
Оператор AB − BA называют коммутатором A и B и обозначают как [A,B]. Он определен для тех x, для которых определены оба ABx и BAx.
Из соотношения Робертсона — Шрёдингера немедленно следует соотношение неопределённости Гейзенберга:
Предположим, A и B — две физические величины, которые связаны с самосопряжёнными операторами. Если ABψ и BAψ определены, тогда:
,
где:

— среднее значение оператора величины X в состоянии ψ системы, и

— оператор стандартного отклонения величины X в состоянии ψ системы.
Приведённые выше определения среднего и стандартного отклонения формально определены исключительно в терминах теории операторов. Утверждение становится однако более значащим, как только мы заметим, что они являются фактически средним и стандартным отклонением измеренного распределения значений.То же самое может быть сделано не только для пары сопряжённых операторов (например координаты и импульса, или продолжительности и энергии), но вообще для любой пары Эрмитовых операторов. Существует отношение неопределённости между напряжённостью поля и числом частиц, которое приводит к явлению виртуальных частиц.
Возможно также существование двух не коммутирующих самосопряжённых операторов A и B, которые имеют один и тот же собственный вектор ψ. В этом случае ψ представляет собой чистое состояние, которое является одновременно измеримым для A и B.
Общие наблюдаемые переменные, которые повинуются принципу неопределённости.
Предыдущие математические результаты показывают, как найти отношения неопределённости между физическими переменными, а именно, определить значения пар переменных A и B, коммутатор которых имеет определённые аналитические свойства.
самое известное отношение неопределённости — между координатой и импульсом частицы в пространстве:

отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами оператора полного углового момента частицы:

где i, j, k различны и J_i обозначает угловой момент вдоль оси x_i.
следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:

Следует подчеркнуть, что для выполнения условий теоремы, необходимо, чтобы оба самосопряженных оператора были определены на одном и том же множестве функций. Примером пары операторов, для которых это условие нарушается, может служить оператор проекции углового момента L_z и оператор азимутального угла  . Первый из них является самосопряженным только на множестве 2π-периодичных функций, в то время как оператор  , очевидно, выводит из этого множества. Для решения возникшей проблемы можно вместо  взять  , что приведет к следующей форме принципа неопределенности^[1]:
.
Однако, при  условие периодичности несущественно и принцип неопределенности принимает привычный вид:
.