Температурная зависимость проводимости собственных полупроводников

2. Вынужденные колебания и их математические описания
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних периодических сил.
Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.
Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: �(�)=�0cos⁡(Ω�).
Консервативный гармонический осциллятор[править | править код]
Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде: ��=−��+�0cos⁡(Ω�). Если ввести обозначения: �02=��,Φ0=�0�  и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:�¨+�02�=Φ0cos⁡(Ω�)
Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:
�(�)=�sin⁡(�0�+�)где �,�  — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.
Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: �(�)=�cos⁡(Ω�)  и получим значение для константы:�=Φ0�02−Ω2
Тогда окончательное решение запишется в виде:�(�)=�sin⁡(�0�+�)+Φ0�02−Ω2cos⁡(Ω�)
Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания
Резонанс
Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курса математического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде: �(�)=�(�cos⁡(Ω�)+�sin⁡(Ω�)). Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что �=0�=Φ02ΩТаким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:
�(�)=Φ02Ω�sin⁡(Ω�)Затухающий гармонический осциллятор[править | править код]
Второй закон Ньютона: ��=−��−��+�0cos⁡(Ω�)
Переобозначения: �02=��,Φ0=�0�,�=�2��
Дифференциальное уравнение:
Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравнения и частного решения неоднородного. Анализ однородного уравнения приведён здесь. Получим и проанализируем частное решение.Запишем вынуждающую силу следующим образом: Φ0cos⁡Ω�=Φ0���−�Ω� тогда решение будем искать в виде: �(�)=��−�Ω�, где �∈�.
Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для �:
где |�|=Φ0(�02−Ω2)2+4�2Ω2,�=−arctan⁡2�Ω�02−Ω2Полное решение имеет вид: �(�)=�−��0�(�1cos⁡(�d�)+�2sin⁡(�d�))+��[Φ0(�02−Ω2+2��Ω�0)(�02−Ω2)2+4�2Ω2�02�−�Ω�]
где �d=�01−�2 — собственная частота затухающих колебаний.
Константы �1 и �2 в каждом из случаев определяются из начальных условий: {�(0)=�0�˙(0)=�0
В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при �→∞, то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:�(�→∞)=Φ0(�02−Ω2)cos⁡Ω�+2�Ωsin⁡Ω�(�02−Ω2)2+4�2Ω2=Φ0(�02−Ω2)2+4�2�02Ω2cos⁡(Ω�−�)
Это означает, что при �→∞ система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.Работа, совершаемая вынуждающей силой �(�)=�0cos⁡(Ω�) за время �� , равна ��� , а мощность �=�����.