Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni

(5)
Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni
yaqinlashuvchi qatordir, ikkinchidan esa (5) ning chap tomoni maxraji q=3 >1 bo`lgan
uzoqlashuvchi qator. Hosil bo`lgan bu ziddiyat (4) ni yaqinlashuvchi deb
qarashimizdan kelib chiqadiki, natijada farazimiz noto`g`ri va demak (3) qator
uzoqlashuvchidir.
(3) ning uzoqlashuvchiligini n – xususiy yig`indisining limitini cheksizga
intilishining ko`rsatish mumkin.

Yaqinlashuvchi qatorning qolig`i
Ma`lumki, ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo`lganda uning chekli sondagi boshlang`ich hadlarini tashlash yoki o`zgartirish yoki uning boshlang`ich qismiga chekli sondagi yangi hadlarni qo`shib olishdan hosil bo`lgan ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lar edi. Agarda hosil qilingan keying ketma-ketlikni berilgan ketma- ketlikni berilgan ketma-ketlikning chekli sondagi dastlabki hadlarini o`zgartirishdan hosil bo`lgan ketma-ketlik deb ta`riflasak,natijada bu ketma-ketliklar bir vaqtda yaqinlashar ekan. Shunday holat qatorlar uchun ham o`rinli.
Teorema. Yaqinlashuvchi qatorning dastlabki cheklita hadlarini o`zgarishidan hosil bo`lgan qator ham yaqinlashuvchidir.
Isboti. Teoremani isbotlash uchun qatorning bitta hadi o`zgartirilgan holni qarash yetarlidir.
Bizga yaqinlashuvchi va yig`indisi A ga teng bo`lgan
(1)
Qator berilgan bo`lsin, ya`ni

Mavjud va chekli deb qaraylik. Endi biz (1) qatorning birinchi hadi o`zgartirilgan
(2)
Qatorni tekshiraylik. Uning xususiy yig`indisini aniqlasak, u
= )
Ko`rinishda bo`lib, natijada

= )) = A+ )
Tenglik (2) ning yaqinlashuvchiligini va yig`indisi esa A+ ) ga tengligini ko`rsatadi, ya`ni
A+ )
Shu bilan teorema isbot bo`ldi.
Berilgan
(3)
qatorning dastlabki m ta hadlarini tashlashdan hosil bo`lgan
(4)
qatorni odatda (3) qatorning haddan keying qoldig`i deb ataladi. Yuqorida biz (3) va (4) qatorlarning yaqinlashishini ko`rib o`tdik.
Bundan tashqari

bo`lganida

belgilashni kiritsak, teoremaning isboti kelib chiqadi,
(5)
bo`ladi.(5) dan quyidagi muhim teoremani hosil qilamiz.