Tengsizlik o’rinli bo’lib, bo’lsa, u holda mavjud va u ham ga teng

tengsizlik o’rinli bo’lib, bo’lsa, u holda - mavjud va u ham ga teng.
6. Agar bo’lsa, y holda . funksiyalar ham limitga ega va

munosabatlar o‘rinli.
7. Agar mavjud bo’lsa, u holda ham mavjud va u ga teng const , ya’ni

8.Agar mavjud va chekli bo’lsa, u holda ham
mavjud va

munosabat o‘rinli bulladi.
Faraz qilaylik to’plamda funksiya aniqlangan va bu funksiya qiymatlarndan iborat to’plamda funksiya aniqlangan bo’lib, ular yordamida murakkab funksiya hosil qilingan bo’lsin.
9. Agar 1) bo’lib, nuqtaning shunday atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofdan olingan barcha lar uchun bo’lsa, 2) c nuqta tuplamning limit nuqtasi bo’lib, bo’lsa, u holda da murakkab funksiya limitga ega va

bo’ladi.
3-§. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar
to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib, nuqta ning limit nuqtasn bo’lsin.
11-ta ‘ rif. Agar da funksiyaning limiti nolga teng, ya’ni

bo’lsa, funksiya a nuqtada (yoki da) cheksiz kichik funksiya deyiladi.
Masalan, da, esa da cheksiz kichik funksiya bo’ladi.
Agar to’plamda berilgan funksiya da chekli limitga ea bo’lsa, u holda funksiya da cheksiz kichik funksiya buladi va aksincha.
Xaqiqatan ham

bo’lib, chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko‘ra - xossa

bo’ladi.
Xuddi shuningdek nuqtada cheksiz kichik funksiya bo’lsa, u holda

ekani ko‘rsatiladi.
Yuqorida aytilganlardan ko‘rinadiki, agar funksiya da chekli limitga ega bo’lsa, uni kurinishda ifodalash mumkin. Bunda cheksiz kichik funksiya.
Endi to’plamda berilgan biror funksiyani qaraylik.
12-ta’rif. Agar funksiyaning limiti , ya’ni

bo’lsa. funksiya da cheksiz katta funksiya deb ataladi.
Masalan, funksiya da, funksiya esa da cheksiz katta funksiya bo‘ladi.
Cheksiz kichik va katta funkџiyalar kuyidagi xossalarga ega.
1°. Chekli sondagi cheksiz kichnk funksiyalarning yig‘indisi va ko‘paytmasi
cheksiz kichyak funksiya buladi.
. Chegaralangan funksiya bilan cheksiz kichnk funksiyaning ko‘paytmasi cheksiz kichik funksiya bulladi. cheksiz katta funksiya 6 o‘ladi.
. Arar cheksiz katta funksiya bo’lsa, cheksiz kichik
4- §. Funksiyalarni taqkoslash
Faraz kilaylik, X to’plamda α(x) va β(x) funksiyalar berilgan 6 ulik,
■(& lim┬(x→∞) α(x)=0,@& lim┬(x→a) β(x)=0)
bullsin ( a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi).
yiu6y
lim┬(x→a) (α(x))/(β(x))
limitni karaymnz.
1^∘. Agar (1) limit 0 ga teng bullsa, u holda x→a da α(x) funksiya β(x) ga nisbatan yukori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladn va α(x)=o(β(x)) kabn belgnlanadi.
2^∘. Agar (1) limit 0 dan farkli chekli songa teng bo‘lsa, u holda x→a da α(x) va β(x) bir xil tartibli cheksiz knchik funksiyalar deyiladi.
3^∘. Agar (I) limit 1 ga teng bo‘lsa, u holda α(x) va β(x) funkщiyalar x→a da ekvivalent deyiladi va α(x)∼β(x) kabi belgilanadi.
Kuyidagn xossalar bevosita ta’rnfdan kelib chnkadi
a) o(β)±o(β)=o(β);
6) Agar γ=o(β)6 ulsa, o(β)±o(γ)=o(β);
v) Agar α(x) va β(x) funksiyalar x→a da ixtiyoriy cheksiz kichik funkщnyalar bo’lsa, u xodda α⋅β=o(α) va α⋅β=o(β) buladi:
5-§. Funksiya limiti mav udligiga oid teoremalar urrgandik. Ushbu paragrafda esa funkщiya limiti mavjudliti masalasi bnlan shug‘ullanamiz. Avvalo bu masalani monoton funksiyalar uchun xal etamiz.
f(x) funksiya X tupplamda bernlgan 6 o‘li 6 , a nuqta X to‘plamning limit nuqtasi hamda ∀x∈X uchun x⩽a bulsin.
3- t ye o ye m a. Azar f(x) funksiya X tіppamda uusuvchi (kamayuvchi) bo’lib, yuokoridan (kuyidan) chegaralanzan budlsa, a nuqtada chekli limitaa eea buladi.
Is 6 ot. f(x) funknnya X to’plamda o‘suvchi bo‘lib, yukorndan chegaralangan bulsin. U holda |f(x)|={f(x):x∈X} to‘llamiing anik yukori chegarasi mavjud buladi. Faraz kilaylik, sup{f(x)}=b bulsin. U holda anik yukorn chegara xossasiga ko‘ra
∀x∈X uchun f(x)⩽b.
2^∘.∀8>0,∃x^'∈X,f(x^' )>b-ε
4- §. Funksiyalarni taqkoslash
Faraz kilaylik, to’plamda va funksiyalar berilgan 6 ulik,

bullsin ( nuqta to‘plamning limit nuqtasi).
yiu6y

limitni karaymnz.
. Agar (1) limit 0 ga teng bullsa, u holda da funksiya ga nisbatan yukori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladn va kabn belgnlanadi.
. Agar (1) limit 0 dan farkli chekli songa teng bo‘lsa, u holda da va bir xil tartibli cheksiz knchik funksiyalar deyiladi.
. Agar (I) limit 1 ga teng bo‘lsa, u holda va funkщiyalar da ekvivalent deyiladi va kabi belgilanadi.
Kuyidagn xossalar bevosita ta’rnfdan kelib chnkadi
a) ;
6) Agar ulsa, ;
v) Agar va funksiyalar da ixtiyoriy cheksiz kichik funkщnyalar bo’lsa, u xodda va buladi:
5-§. Funksiya limiti mav udligiga oid teoremalar urrgandik. Ushbu paragrafda esa funkщiya limiti mavjudliti masalasi bnlan shug‘ullanamiz. Avvalo bu masalani monoton funksiyalar uchun xal etamiz.
funksiya tupplamda bernlgan 6 o‘li 6 , nuqta to‘plamning limit nuqtasi hamda uchun bulsin.
3- t ye o ye m a. Azar funksiya tіppamda uusuvchi (kamayuvchi) bo’lib, yuokoridan (kuyidan) chegaralanzan budlsa, a nuqtada chekli limitaa eea buladi.
Is 6 ot. funknnya to’plamda o‘suvchi bo‘lib, yukorndan chegaralangan bulsin. U holda to‘llamiing anik yukori chegarasi mavjud buladi. Faraz kilaylik, bulsin. U holda anik yukorn chegara xossasiga ko‘ra

1. 
   uchun .
   
   

Ravshankn, oralikdan olingan ixtiyoriy larda tengsizliklar o‘rinlidir.
Endi tengsizliklarni ga tlib, va undan bulishini topamnz. Natijada

tengsnzliklarga ega bӯlamiz.
Endi va da ekanini e’tiborga alsak,

munosabat urrinli bo‘lishini topamiz. Demak, ixtiyoriy da tengsizliklar ur rinli.
Endi uchun sifatida va sonlarining kichigi olinsa, argument ning tengsizlikni kanoatlantiruvchi barcha kiymatlarida tengsizlik o‘rinli buladi. Bu esa ta’rifga ko‘ra

ekanini bnldiradi.
funkџiya uchun tenglikning bajarilishini, yani funksiyannng juft ekanligini kӱrish kiynn emas. Lemak,

tenglik ham o‘rinli buladi. 2-teoremaga asosan nuqtada funksiyaning limiti mavjud va u I ga teng.
2.

tenglik o‘rinli 6 ӱlishini kӱrsating.
Biz ekanligini ko‘rgan edik (karalsin, 17.6ob, 2- )
Faraz knlaylik, x>1 bullsin. x ning butun kismini n orkali belgilasak, u holda n⩽x(1+1/(n+1))^n<(1+1/x)^x<(1+1/n)^(n+1)
tengsizliklar kelib chikadi.
lim┬(n→∞) (1+1/(n+1))^n=e,□( ) lim┬(n→∞) (1+1/n)^(n+1)=e
funksiya xossalariga kura (5^∘ ┤-xossa) x→+∞□( )(n→∞) da
lim┬(x→∞) (1+1/x)^t=e
tenglikka ega bullamiz.
Endi x<-1 bulsin. x=-y belgilash kiritsak, u holda:
■(& lim┬(x→-∞) (1+1/x)^x-lim┬(y→+∞) (1-1/y)^(-y)=lim┬(y→+∞) (1+1/(y-1))^y=@& =lim┬(y→+∞) (1+1/(y-1))^(y-1) lim┬(y→+∞) (1+1/(y-1))=e⋅1=e)
6 o‘ladi.
Demak,
lim┬(x→∞) (1+1/x)^x=e
6y ̅ladi.
N a tij a. lim_(x→0) (1+x)^(1/x)=e tenglik o‘rinlidir.
Xakikatan ham 1/x=y belgilash natijasida
lim┬(x→0) (1+x)^(1/x)=lim┬(y→∞) (1+1/y)^y
bo‘lib, lim_(y→∞) (1+1/y)^2=e munosabatdan lim_(x→∞) (1+x)^(1/x)=e kelib chikaD一.
6- §. Funksiya limitini xisoblashga oid misollar
Ushbu limitni xisoblang:
lim┬(x=11) (10sin^2⁡x+cos^2⁡x+(x-1)/(3x+2))
Avvalo
f_1 (x)=10sin^2⁡x,□( ) f_2 (x)=cos^2⁡x,□( ) f_3=(x-1)/(3x+2)

Endi berilgan limitni xisoblaymiz:

Ushbu ko‘rinishdagi funksiya darajali-kurssatkichli fuyakchiya deynladi.
Limit xnsoblashga ond kator mnsollarda darajaln-ko‘rsatkichli funksiyalarning limitini topishga ond kuyidagn kondadan foydalaniladi:
va funksiyalar to‘plamda berilgan 6 ӱlib, a nuqta tuplamning limit nuqtasi bulsin.
Agar
6 o‘lsa, u holda

6 ulladn.
4. Ushbu limitni toping.
ifodanint ko‘rinishtini o‘zgartiramiz:
Endi darajali kӯrsatkichli funkiiya limiti hamda

tengliklardan foydalanamiz. Natijada
xosnl bo‘ladi.

5. 
   Ushbu
   

funksiyaning nuqtada limiti mavjudligini isbotlang va bu limitni tonshsh
Qaralastta॥ fuikıiyanin ) nuqtadagn bir tomonli (ӯng va chap) limitlarini tonamiz:

Demak, bsriliap funkњinshsh nuqtalayun o‘њ va chap limitlari mavjud bulio. ular ujaro tei (0 ga ten) ekan. Buidai esa fuiksiyainig ) la limiti manjuљыigi va ushing ham 0 ga tengligi kelib chikala.