Termiz davlat unversitute milliy libos va san’at fakulteti yengil sanoat yunalishi 321-guruh talabas

Termiz davlat unversitute milliy libos va san’at fakulteti yengil sanoat yunalishi 321-guruh 2-kurs talabasi Ziyotov Ma’rufning oliy matematikadan mustaqil ishi

MAVZU: BOSHLANG’ICH FUNKSIYA VA ANIQMAS INTEGRAL TUSHUNCHALARI

• Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Differensial hisob bobida berilgan y=F(x) funksiya sining F′(x)=f(x) hosilasini topish masalasi bilan shug‘ullangan edik. Ammo bir qator savollarga javob izlashda teskari, ya’ni y=F(x) funksiyani uning ma’lum bo‘lgan F′(x)=f(x) hosilasi bo‘yicha topish masalasiga duch kelamiz. Masalan, moddiy nuqtaning harakat tenglamasi S=S(t) berilgan bo‘lsa, unda t0 vaqtgacha bosib o‘tilgan masofa S0=S(t0) kabi aniqlanadi.Ammo harakat tenglamasi S=S(t) noma’lum bo‘lib, uning hosilasi S′(t)=v(t), ya’ni oniy tezlik berilgan holda S0=S(t0) masofani qanday topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu kabi masalalar integral tushunchasiga olib keladi va uni o‘rganishga kirishamiz. 1-TA’RIF: Biror chekli yoki cheksiz (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada differensiallanuvchi va hosilasi F′(х)=f(х) (1) shartni qanoatlantiruvchi F(x) berilgan f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi. Masalan, f(x)=a x (a>0, a≠1), x(–∞, ∞), funksiya uchun F(x)= a x /lna boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x uchun F′(x)= (a x /lna)′= a x lna /lna=a x =f(х) tеnglik o‘rinlidir. Xuddi shunday F(x)=x 5 /5 funksiya barcha x nuqtalarda f(x)=x 4 uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi, chunki bunda (1) tenglik bajariladi. Berilgan y=F(x) funksiyaning y′=F′(x)=f(x) hosilasi bir qiymatli aniqlanadi. Masalan, y=x 2 funksiya yagona y′=2x hosilaga ega. Ammo y=f(x) funksiyaning boshlang‘ich F(x) funksiyasini topish masalasi bir qiymatli hal qilinmaydi. Haqiqatan ham, agar F(x) funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy C o‘zgarmas son uchun F(x)+C funksiya ham f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Haqiqatan ham, differensiallash qoidalariga asosan, (F(x)+С)′= F′(x)+(С)′=f (х)+0= f (х) va, ta’rifga asosan, F(x)+C funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Masalan, f(x)=2x uchun ixtiyoriy C o‘zgarmasda x 2 +C boshlang‘ich funksiyalar bo‘ladi. Demak, berilgan y=f(x) funksiya uchun F(x)+C ko‘rinishdagi cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘ladi. Bunda F(x) birorta boshlang‘ich funksiyani, C esa ixtiyoriy o‘zgarmas sonni ifodalaydi. Bu yerda berilgan y=f(x) funksiya uchun barcha boshlang‘ich funksiyalarni topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu savolga javob berish uchun dastlab ushbu lemmani (yordamchi teoremani) qaraymiz.

• Agar y=Q(х) funksiya biror (a,b) oraliqda differensiallanuvchi va bu oraliqning har bir nuqtasida uning hosilasi Q′(x)=0 bo‘lsa, unda bu funksiya (a,b) oraliqda o‘zgarmas, ya’ni Q(x)=C (C - const) bo‘ladi. Isbot: Qaralayotgan (a,b) oraliqdan ixtiyoriy ikkita x1 va x2 (x1≠x2) nuqtalarni olamiz. Unda y=Q(х) funksiya olingan [x1, x2] kesmada Lagranj teoremasining (VII bob,§3) barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli Q(x2)–Q(x1)=Q′()(x2–х1 ) , x1<< x2 , tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lemma sharti bo‘yicha (a,b) oraliqning barcha nuqtalarida Q′(x)=0 bo‘lgani uchun  nuqtada ham Q′()=0 bo‘ladi. Bu yerdan, oldingi tenglikka asosan, Q(x2)–Q(x1)=0, ya’ni Q(x2)=Q(x1) tenglikka ega bolamiz. Bu esa Q(x)=C ekanligini ifodalaydi. Lemma isbot bo‘ldi. Endi quyidagi teoremani qaraymiz. 1-TEOREMA: Agar F(x) vа (х) berilgan f(х) funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, u holda biror C o‘zgarmas sonda Ф(х)=F(x)+С tеnglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot: Teorema shartiga asosan F(x) vа (х) berilgan f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari bo‘lgani uchun F′(x)=f(х) ва Ф′(x)=f (х) tеnglik o‘rinlidir. Bu yerdan Q(x)=(х)–F(x) funksiyaning hosilasi Q′(x) = [(х)–F(x)]′= Ф′(x)–F′(x)=f(х)–f(х)=0 ekanligini ko‘ramiz. Unda, oldingi lemmaga asosan, Q(x)=C natijani olamiz. Demak, Q(x)=(х)–F(x)=C va haqiqatan ham Ф(х)=F(x)+С tеnglik o‘rinli. Bu teoremadan ushbu muhim xulosa kelib chiqadi: agar F(x) berilgan f(x) funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasi bo‘sa, uning barcha boshlang‘ich funksiyalari F(x)+С (C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) kabi aniqlanadi. Demak, f(x) funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalarini topish uchun uning birorta F(x) boshlang‘ich funksiyasini topib, unga C o‘zgarmas sonni qo‘shib qo‘yish kifoyadir. Masalan, f(x)=2x funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari x 2 +C ko‘rinishda bo‘ladi. 2-TA’RIF: Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, unda F(x)+С (С – ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar to‘plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi . Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integrali  f (x)dx kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlang‘ich funksiya bo‘yicha  f (x)dx  F(x)  C (2) tenglik bilan aniqlanadi. Bunda C ixtiyoriy o‘zgarmas son ekanligini yana bir marta eslatib o‘tamiz. (2) tenglikda  - integral belgisi, f(x) integral ostidagi funksiya , f(x)dx integral ostidagi ifoda, x esa integrallash o‘zgaruvchisi deyiladi. Berilgan f(x) funksiyaning  f (x)dx aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deb ataladi. Izoh: Berilgan f(x) uchun qaysi shartda F(x) boshlang‘ich funksiya , demak  f (x)dx aniqmas integral, mavjud bo‘lish masalasi kelgusida, §6 da qaraladi. Y

• Yuqorida topilgan boshlang‘ich funksiyalar bo‘yicha quyidagi aniqmas integrallarni yozish mumkin:    C a a а dx x х ln , C x  x dx   5 4 5 ,  xdx  x  C 2 2 . Aniqmas integral ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan ko‘rinadiki, aniqmas integral y=F(x)+C(C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar sinfini ifodalaydi. Shu sababli, geometrik nuqtai-nazardan, aniqmas integral y=F(x) funksiya grafigini OY koordinata o‘qi bo‘ylab parallel ko‘chirishdan (VII bob,§3) hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfidan iborat bo‘ladi (69-rasmga qarang). 1.2. Aniqmas integral xossalari. Aniqmas integral ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi: I. Aniqmas integral hosilasi integral ostidagi funksiyaga tеng, ya’ni ( f (х)dx)  f (x)  Isbot: Aniqmas integral va boshlang‘ich funksiya ta’rifini ifodalovchi (2) va (1) tengliklarga asosan ( f (х)dx)  (F(x)  C)  F(x)  f (x)  . II. Aniqmas integral diffеrеntsiali integral ostidagi ifodaga tеng, ya’ni d( f (x)dx)  f (x)dx  . Isbot: Differensial ta’rifi va oldingi xossaga asosan d( f (x)dx)  ( f (x)dx)dx  f (x)dx. Izoh: Bu yerdan diffеrеntsiallash amali integrallash amaliga teskari amal ekanligini ko‘ramiz. III. Biror funksiyaning hosilasidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy C o‘zgarmasning yig‘indisiga tеng, ya’n

• Agar a va b o‘zgarmas sonlar bo‘lsa, unda quyidagi tasdiq o‘rinlidir:        F ax  b  C a f x dx F x C f ax b dx ( ) 1 ( ) ( ) ( ) . Isbot: Ikkinchi integral javobi to‘g‘riligini differensiallash orqali ko‘rsatamiz. Shartga ko‘ra F′(x)=f(x) bo‘lgani uchun va murakkab funksiya hosilasi formulasiga asosan ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 f ax b a f ax b a F ax b ax b a F ax b a                    . Masalan, C x C x C x dx x x dx              5 5 4 5 4 10 (2 3) 5 (2 3) 2 1 (2 3) 5 . 1.3. Integrallar jadvali. Hosilalar jadvali (VIII bob, §2), oldin hisoblangan hosilalar va aniqmas integral ta’rifidan foydalanib, asosiy integrallar jadvalini yozamiz. Bunda aniqmas integral javobining to‘g‘riligini tenglikning o‘ng tomonidan hosila olish orqali tekshirish mumkin. Natijada integral ostidagi funksiya hosil bo‘lishi kerak. Masalan,       x x a C x a dx 2 2 2 2 ln integral javobi to‘g‘riligini tekshiramiz. Murakkab funksiya hosilasi formulasiga asosan . 1 1 (1 ) 1 ( ) ] 2 1 [1 1 ( ) 1 (ln ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x x x a x a x x x a x a x x a x a x x a x x a x x a C                                     . Differensiallash natijasida integral ostidagi funksiya hosil bo‘ldi. Demak, integral javobi to‘g‘ri ko‘rsatilgan. INTEGRALLAR JADVALI 1.        ( 1) 1 1     C x x dx 2.  dx  x  C 3.    C x xdx 2 2 4.     C x x dx 1 2 5.   x  C x dx 2 6.   x  C x dx ln 7.    C a a a dx x x ln 8.  e dx  e  C x x 9.  sin xdx  cos x  C 10.  cos xdx  sin x  C

• 11. , 0, 1, 2, ) 2 (1 tg ) tg ( cos 2  2    x dx  x  C x   k k     x dx   12. ctg ( , 0, 1, 2, ) sin  2   x  C x  k k     x dx  13. , 0, 1, 2, ) 2  tgxdx  ln cosx  C (x   k k      14. ctg  ln sin  (  ,  0, 1,  2, )  xdx x C x k k 15.          x C x C x dx arcctg arctg 1 2 16.          x C x C x dx arccos arcsin 1 2 17.       C x a x a x a a dx ln 2 1 2 2 18.       x x a C x a dx 2 2 2 2 ln Bu jadval, integralning ko‘rib o‘tilgan xossalari va kelgusida qaraladigan integrallash usullaridan foydalanib juda ko‘p integrallarni hisoblash mumkin. XULOSA Matematik tahlilda hosila bilan bir qatorda yana bir muhim tushuncha integral bo‘lib hisoblanadi. Hosilasi berilgan f(x) funksiyaga teng bo‘lgan differensiallanuvchi F(x) funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya deb ataladi. Berilgan funksiya uchun boshlang‘ich funksiyalar cheksiz ko‘p bo‘lib, ular birbiridan faqat o‘zgarmas C soniga farq qiladi. Berilgan f(x) funksiya uchun barcha boshlang‘ich funksiyalar sinfi F(x)+C (C–ixtiyoriy o‘zgarmas son) shu funksiyaning aniqmas integrali deyiladi. Funksiyaning aniqmas integralini topish integrallash amali deyiladi va u differensiallash amaliga teskari bo‘ladi. Berilgan funksiyaning integralini topish integral xossalari va jadvali yordamida amalga oshirilishi mumkin