Termomechanika stavová rovnice ideálních plynů 1 osnova kapitoly

TERMOMECHANIKA

2. Stavová rovnice ideálních plynů

1

OSNOVA 2. KAPITOLY

●

Avogadrův zákon

●

Gay-

Lussacův zákon

●

Charlesův zákon

●

Boyleův Mariotteův zákon 

●

Souřadný systém 

p-v-T

●

Odvození stavové rovnice

●

Plynová konstanta

●

Základní tvary 

stavové rovnice

FSI VUT

v Brně, Energetický ústav

Odbor termomechaniky a techniky prostředí

prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.

Absolventi FSI

Slovní formulace (1811):

Různé ideální plyny 

stejných objemů obsahují za stejné teploty a 

tlaku stejný počet molekul (ne atomů).

AVOGADRŮV ZÁKON

2

Plyn 1

p, V, T



Hmotnosti stejných objemů jsou úměrné 

molovým hmotnostem 

M [kg.kmol

-1

]

Pozn.:  

M

udává, kolikrát je hmotnost molekuly 

látky větší, než 

1

/

12

hmotnosti atomu uhlíku 

12

C.

konst

konst











M

v

/

V

M

m

Platí:

konst







m

V

v

M

kde V

m

[m

3

.kmol

-1

]

je mololý objem. Při  

p = 101325 Pa  a  T = 273,15 K 

(normální fyzikální podmínky 

- NFP)  je  V

m

= 22,4136 m

3

.kmol

-1

.

Matematická formulace:

Plyn 2

p, V, T

Normální m

3

je hmotnost 

1 m

3

(



= m/V = 1/v) 

při NFP:

22,41

Nm

1

3

M

V

M

V

m

NFP

m

NFP































m

m

m

V

M

m

V

v

,

V

M

m

V

n

V

M

m

n



















1

Platí:

GAY-

LUSSACŮV ZÁKON

3

Slovní formulace: 

Za stálého tlaku roste objem plynu 

lineárně s teplotou. Hodnota teplotní 

objemové roztažnosti





je pro všechny 

plyny stejná, nezávisí na tlaku.

 

0 

V 

t 

p

1

=konst 

-273,15 

p

2

=konst 

p

3

=konst 

p

1 

< p

2 

< p

3

 

Gay-Lussac (1778-1850)

sledoval chování plynu 

za konstantního tlaku. 

Matematická formulace: 





t

V

V

o









1

V

o

objem při 

t

o

= 0

°

C



= 1 / 273,15  K

-1

Po úpravě: 





T

T

V

t

V

t

V

V































o

o

o

o

273,15

273,15

273,15

1

1

konst

2

2

1

1









T

V

T

V

T

V

Matematická formulace: 

CHARLESŮV ZÁKON

4

Slovní formulace: 

Za konstantního objemu roste 

tlak plynu lineárně

s teplotou. 

Hodnota rozpínavosti 



je 

pro všechny plyny stejná.

 

p 

t 

V

1

=konst 

0 

-273,15 

V

2

=konst 

V

3

=konst 

V

1 

< V

2 

< V

3

 

Charles (1746-1823)

sledoval chování plynu 

za konstantního objemu. 

Matematická formulace:





t

β

p

p







1

o

p

o

tlak při 

t

o

= 0

°

C



= 1 / 273,15  K

-1

Po úpravě: 





T

T

p

t

p

t

p

p































o

o

o

o

273,15

273,15

273,15

1

1

konst

2

2

1

1









T

p

T

p

T

p

Matematická formulace: 

BOYLEŮV 

-

MARIOTTEŮV 

ZÁKON

5

Slovní formulace: 

Za konstantní teploty je součin 

tlaku a objemu daného množství 

plynu konstantní.

 

p 

V 

T

3

=konst 

0 

T

2

=konst 

T

1 

< T

2 

< T

3

 

T

1

=konst 

Boyle (1662), Mariotte (1672)

sledovali chování plynu 

za konstantní teploty. 

2

2

1

1

konst

V

p

V

p

V

p













Matematická formulace: 

Zákon lze vyjádřit i pomocí 

stlačitelnosti











o

o

1

p

p

δ

V

V









Stlačitelnosti



není však ani u ideálních plynů konstantní, a proto 

uvedená závislost 

V = f(p)

není přímka.

 

0 

V 

t 

p

1

=konst 

-273,15 

p

2

=konst 

p

3

=konst 

p

1 

< p

2 

< p

3

 

SOUŘADNÝ SYSTÉM 

p-v-T

6

Spojením Gay

-Lussacova, Charlesova

a Boyle - Mariotteova

zákona získáme

termodynamickou plochu v p-v-T prostoru.

Rovnovážné stavy plynu 

se nacházejí 

pouze na této termodynamické ploše. 

p =konst

 

p 

t 

V

1

=konst 

0 

-273,15 

V

2

=konst 

V

3

=konst 

V

1 

< V

2 

< V

3

 

v =konst

 

p 

V 

T

3

=konst 

0 

T

1 

< T

2 

< T

3

 

T

1

=konst 

T

2

=konst 

T =konst

 

p 

T 

v 

p = konst 

T = konst 

v = konst 

ODVOZENÍ STAVOVÉ 

ROVNICE

7

Stavovou rovnici ideálního plynu odvodil

v roce 1834 francouzský fyzik 

Clapeyron (1799-

1864). Vycházel přitom z Boyleova

-Mariotteova a 

Gay-

Lussacova zákona 

obecný děj nahradil izotermou a izobarou

.

 

p 

v 

Obecný děj 

0 

2)  Gay-Lusscac 

p

A 

= p

2

 

1)  Boyle - Mariotte 

T

1 

= T

A

 

1 

A 

2 

2

1

1

1

1

1

1

p

v

p

p

v

p

v

v

p

v

p

A

A

A

A









1) Boyle-Mariotte 

(T = konst)

2

2

1

2

2

2

2

T

v

T

T

v

T

v

T

v

T

v

A

A

A

A









2) Gay-Lussac 

(p = konst)

Měrný objem 

v

A

je v obou případech stejný, a proto platí:

konst

konst

2

2

2

1

1

1









T

v

p

T

v

p

T

v

p

r

T

v

p





Stavová rovnice ideálního plynu

je dána vztahem:

kde 

r [J.kg

-1

.K

-1

]

je měrná plynová konstanta.

PLYNOVÁ KONSTANTA

8

Měrná plynová konstanta 

r 

[J.kg

-1

.K

-1

]

určí se pro jednotlivé plyny 

z tabulek nebo VÝPOČTEM

T

v

p

r





Odvození z Avogadrova zákona

konst







m

V

v

M

a ze stavové rovnice

M

R

r

m



Výpočet plynové konstanty 

r

1,2

8314,3

273,15

22,4136

101325













T

V

p

T

M

v

p

r

M

m

Při normálních fyzikálních podmínkách 

p = 101325 Pa a T = 273,15 K je 

V

m

= 22,4136  m

3

.kmol

-1

pro všechny plyny a lze psát

J.kmol

-1

.K

-1

Univerzální plynová konstanta

1,2

8314,3





m

R

J.kmol

-1

.K

-1

Pro vzduch (směs N

2

a O

2

)  r = 287,06 J.kg

-1

.K

-1

ZÁKLADNÍ TVARY 

STAVOVÉ ROVNICE

9

T

r

v

p







Stavová rovnice pro 

1 kg

ideálního plynu

T

r

m

V

p









Stavová rovnice pro 

m kg

ideálního plynu

Vynásobením rovnice pro 1 kg molovou hmotností 

M

dostaneme

všeobecnou stavovou rovnici ideálního plynu

T

r

M

V

p

m









nebo

kde   

V

m

= M . v

a   

R

m

= M . r

T

R

V

p

m

m







Vynásobením všeobecné stavové rovnice látkovým množstvím 

n

získáme 

rozšířenou všeobecnou stavovou rovnici ideálního plynu

T

R

n

V

p

m









kde   

V = n . V

m