Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi
Download 0.9 Mb.
|
tursunboyev nodirbek matematika Mustaql ish
9.1- chizma.
Agar [a,b] kesmada f x 0 va uzluksiz bo’lsa, u holda aABb yuzasi b S f x dx (9.14) a formula bilan topiladi. Uzluksiz x y y 0 egri chiziq, y c1 va y d to’g’ri chiziqlar hamda Oy o’qining [c,d] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi d S y dy (9.15) c formula bilan hisoblanadi . Uzluksiz y f1 x va y f2 x egri chiziqlar hamda x a, x b a b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi b S f2 x f1 x dx, (9.16) a formula bilan hisoblanadi (9.2 - chizma). y 9.2 – chizma. Agar [d,e] kesmada y f x funksiya uzluksiz va chekli sonda o’z ishorasini almashtirsin (9.3 - chizma). Masalan, [a,b], [b;d] musbat va [d,e] kesmada manfiy qiymatlarni qabul qilsin. U holda bde S S 1 S 2 S 3 f x dx f x dx f x dx . abd 5) Yuqori chegarasi parametrik ko’rinishda berilgan egri chiziq x t , y t t va yon tomonlari a x va b x chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash uchun (9.13) formuladan foydalanamiz. b b S f x dx ydx a a y t x tdx t dt t t dt x a t x b t 6) Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqli OAB sektorning yuzini (9.4chizma) quyidagi formula yordamida topamiz:
2 2 S lim r r d (9.18) 02 1 y 9.4 – chizma. Uzluksiz y f x f x 0 egri chiziq xa va x b to’g’ri chiziqlar hamda Ox o’qining [a,b] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi b S f x dx (9.13) a formula bilan hisoblanadi (9.1-chizma). y
x
9.1- chizma. Agar [a,b] kesmada f x 0 va uzluksiz bo’lsa, u holda aABb yuzasi b S f x dx (9.14) a formula bilan topiladi. Uzluksiz x y y 0 egri chiziq, y c1 va y d to’g’ri chiziqlar hamda Oy o’qining [c,d] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi d S y dy (9.15) c formula bilan hisoblanadi . Uzluksiz y f1 x va y f2 x egri chiziqlar hamda x a, x b a b to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan sohaning yuzi b S f2 x f1 x dx, (9.16) a formula bilan hisoblanadi (9.2 - chizma). y 9.2 – chizma. Agar [d,e] kesmada y f x funksiya uzluksiz va chekli sonda o’z ishorasini almashtirsin (9.3 - chizma). Masalan, [a,b], [b;d] musbat va [d,e] kesmada manfiy qiymatlarni qabul qilsin. U holda bde S S 1 S 2 S 3 f x dx f x dx f x dx . abd 5) Yuqori chegarasi parametrik ko’rinishda berilgan egri chiziq x t , y t t va yon tomonlari a x va b x chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya yuzasini hisoblash uchun (9.13) formuladan foydalanamiz. b b S f x dx ydx a a y t x tdx t dt t t dt x a t x b t 6) Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqli OAB sektorning yuzini (9.4chizma) quyidagi formula yordamida topamiz:
2 2 S lim r r d (9.18) 02 1 y
Mavzu: Furye qatori va uning tatbiqlari Har bir hadi un (x) = an cosnx +bn sin nx (n = 0,1,2,...) quyidagi ko’rinishga ega bo’lgan ∞ a0 +∑(an cosnx + bn sin nx) (1.1) n=1 funksional qatorni trigonometrik qator deb ataladi. a0 ,a1 ,b1 ,a2 ,b2 ,... sonlar esa trigonometrik qatorning koeffisientlari deyiladi. Bu qatorda asosiy masala ularning koeffisientlarini topishdan iborat (1.1) trigonometrik qatorning qismiy yig’indisi Tn (x) = a0 +∑n (ak coskx +bk sin kx) k=1 trigonometrik ko’phad deb ataladi. Faraz qilaylik, f(x) funksiya [−p,p] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx , f(x)sinnx (n=1,2,,…) funksiyalar ham, ikkita integrallanuvchi funksiyalar ko’paytmasi sifatida [−p,p] da integrallanuvchi bo’ladi.Bu funksiyalarning integrallarini hisoblab, ularni quyidagicha belgilaylik: p a dx −p 17
1 p bn = ∫ f (x)sin nxdx (n=1,2,….) p −p Bu sonlardan foydalanib, ushbu T (1.3) trigonometrik qatorni tuzamiz. Ta’rif: a0 ,a1 ,b1 ,a2 ,b2 ,... koeffisientlari (1.2) formulalar bilan aniqlangan (1.3) trigonometrik qator f(x) funksiyaning Furye qatori deb ataladi. a0 ,a1 ,b1,a2 ,b2 ,...an ,bn ,...sonlar esa f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari deyiladi. Ta’rifga asosan: f (x) ~ T( f ;x) = a0 +∑∞ (an cosnx + bn sin nx) 2 n=1 bo’ladi. Misol .Ushbu f (x) = eax (−p ≤ x ≤ p,a ≠ 0) funksiyaning Furye qatori tuzilsin. (1.2) formuladan foydalanib, bu funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: p a0 = 1 ∫eaxdx = 1 (eap − e−ap )= 2 shap p −p ap ap 1 p an = p ∫eax cosnxdx = p1 a cosanx2 ++nn2sin nx −pp = −p = (−1)n p1 a 22+a n 2 shap,(n =1,2,3,...) 18
bn = 1 p∫eax 1 a sin nx2 − ncos2 nx ax p = sin nxdx = e p −p p a + n −p = (−1)n−1 1 22n 2 shap(n =1,2,3,...) p a + n Demak, berilgan funksiyaning Furye qatori ax ~ a0 +∑∞ (an cosnx + bn sin nx) = e 2 n=1 = 2shap 1a +∑n∞=1 a(2−1+)nn 2 (a cosnx − nsin nx) p 2 bo’ladi. Faraz qilaylik, biror a0 ∑∞ n n + (a cosnx + b sin nx) (1.3) 2 n=1 trigonometrik (funksional) qator [−p,p] da yaqinlashuvchi bo’lsin. Uning yig’indisini f(x) deb belgilaylik: a0 ∑∞ n n + (a cosnx + b sin nx) = f (x) (1.4) 2 n=1 Bundan tashqari, (1.3) ni hamda uni coskx va sinkx (k=1,2,…) larga ko’paytirishdan hosil bo’lgan a0 ∑∞ n n coskx + (a cosnxcoskx + b sin nxcoskx) = f (x)coskx , (1.5) 2 n=1 a0 ∑∞ n n sin kx + (a cosnxsin kx + b sin nxsin kx) = f (x)sin kx 2 n=1 bu yerda, (k =1,2,3,...) qatorlarni [−p,p] da hadlab integrallash mumkin bo’lsin. (1.4) va (1.5) larni [−p,p] da integrallaymiz: 19
−p −p p a ∞ p p = ∫ 20 dx +∑n=1 an −∫pcosnxdx + bn −∫psin nxdx= pa0 , −p
−p −p a20 −p∫pcoskxdx +∑n∞=1 an −∫ppcosnxcoskxdx + bn −∫ppsin nxcoskxdx, p∫ f (x)sin kxdx = p∫a20 sin kx +∑n∞=1 (an cosnxsin kx + bn sin nxsin kx)dx = −p −p = a20 −∫ppsin kxdx +∑n∞=1 an −p∫pcosnxsin kx +bn −∫ppsin nxsin kx. Agar n ≠ k da p p ∫sin nxsin kxdx = 1 ∫[cos(n − k)x −cos(n + k)x]dx = 2 −p −p = sin(nn−−kk)x − sin(nn++kk)x−pp 12 = 0 va
p p ∫sin 2 nxdxp , −p shuningdek, p p p ∫cosnxcoskxdx = 0(n ≠ k), ∫cos2 nxdx = p, ∫cosnxsin kxdx = 0(n,k = 0,1,2,3,...) −p −p −p bo’lishini e’tiborga olsak,u holda p ∫ f (x)dx = pa 0 , −p 20
p ∫ f (x)coskxdx = pa k (k=1,2,3,…) −p p ∫ f (x)sin kxdx = pbk (k=1,2,3,…) −p ekanini topamiz. Bu tengliklardan esa p adx , 1 p ak = p −∫p f (x)coskxdx , (1.2) p bk = p1 −∫p f (x)sin kxdx (k=1,2,3,…) kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiya trigonometrik qatorga yoyilgan bo’lsa va bu qator uchun yuqorida aytilgan shartlar bajarilsa, u holda bu trigonometrik qatorning koeffisientlari f(x) funksiya orqali (1.2) formulalar bilan ifodalanadi, ya’ni f(x)ning Furye koeffisientlari bo’ladi. Download 0.9 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling