The determinant and the discriminant


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1   2   3


2

(

R)



carries a PGL

2

(



R)-invariant measure (the quotient on Haar measures of

PGL


2

(

R) and PSO



2

(

R)) unique up to scalar; we denote it by µ



M

0,(1)


2

. Also


M

0,(1)


2

(

R) has two connected components, namely the two PGL



+

2

(



R)-orbits

of

±



0

1



1 0

; these components are interchanged by conjugation of any



matrix of determinant

1.


38

2. THE DETERMINANT AND THE DISCRIMINANT

Corollary 2.1. Given any m

2 M


0,(1)

2

(



R), the set

{⇢

g,g



(m), g

2 M


(n)

2

(



Z)}

becomes equidistributed on the connected component of M

0,(1)

2

(



R) containing

m w.r.t. the measure µ

M

0,(1)


2

as n


! +1. In other terms, for '

1

, '



2

continuous functions, compactly supported on this connected component and

such that µ

M

0,(1)



2

('

2



)

6= 0, one has

P

g

2M



(n)

2

(



Z)

'

1



(⇢

g

(m))



P

g

2M



(n)

2

(



Z)

'

2



(⇢

g

(m))



!

µ

M



0,(1)

2

('



1

)

µ



M

0,(1)


2

('

2



)

, n


! 1.

More precisely there exist

> 0 depending on the choice of the Haar measure

µ

M



0,(1)

2

such that for any '



2 C

c

(M



0,(1)

2

(



R))

X

g



n

2M

(n)



2

(

Z)



'(⇢

g

n



,g

n

(m)) = (µ



M

0,(1)


2

(') + o(1))

|SL

2

(



Z)\M

(n)


2

(

Z)|, n ! +1.



Proof. Let H denote the stabilizer of m in G = PSL

2

(



R); this is a

compact subgroup of G conjugate to PSO

2

(

R). The connected component



of M

0,

±1



2

(

R) containing m is homeomorphic to G/H via the map



gH

2 G/H 7! g.m

and the (restriction of) the measure µ

M

0,(1)



2

on this component is the quo-

tient measure, µ

G/H


. Since any compactly supported function on G/H may

be identified with a compactly supported function on G which is right H-

invariant, the result now follows.

2.1.1. Equidistribution on two-sheeted hyperboloid. We can now visualize



the equidistribution of the

{⇢

g



(m), g

2 M


(n)

2

(



Z)} by identifying M

0,(1)


2

(

R)



with the a ne variety

V

1



(

R) = {(a, b, c) 2 R

3

, ac


b

2

= 1



},

via the map

(a, b, c)

7!



b

a

c



b

.



3. The discriminant

We consider now the ternary quadratic form:

disc(a, b, c) = b

2

4ac,



to be called the discriminant as it corresponds to the discriminant of the

binary quadratic form

f

a,b,c


(X, Y ) = aX

2

+ bXY + cY



2

4. REPRESENTATIONS BY THE DISCRIMINANT

39

Figure 1. n = 6632, (a, b, c) = (1, 0, 1)



or in fancier terms, one has an isometry of the quadratic spaces

(

Q



3

, disc)


' (Sym

2

(



Q), disc),

the space of 2

⇥ 2 binary quadratic forms enquiped with the discriminant.

Another interesting isometry is the following

(3.1)

(Sym


2

(

Q), disc)



' (M

0

2



(

Q), det)


aX

2

+ bXY + cY



2

7!



b

2c

2a



b

.



Thus SO

disc


' SO

M

0,(1)



2

' PGL


2

and the action of PGL

2

on the space of bi-



nary quadratic form intertwining with conjugation on M

0

2



is given explicitly

for g =


u v


w z

by



(3.2) g.f (X, Y ) = det(g)

1

f (uX + wY, vX + zY ) = det(g)



1

f ((X, Y )g),

or if we represent the quadratic form aX

2

+ bXY + cY



2

by the symmetric

matrix



a



b/2

b/2


c

, the intertwining actions are



g

b



2c

2a

b



g

1



 !

1

det(g)



g

a



b/2

b/2


c

t



g.

We are therefore essentially reduced to the study of the traceless integral

matrices (with even entries on the anti-diagonal) of given discriminant.

4. Representations by the discriminant

For the discriminant quadratic form, the existence of representations is

easy:


40

2. THE DETERMINANT AND THE DISCRIMINANT

Proposition 4.1. An integer n is represented by disc (ie. n is a dis-

criminant) if and only if n

⌘ 0, 1(mod 4). Moreover, the number of such

representations is infinite.

Proof. Necessity is evident since 0, 1 (mod 4) are exactly the squares

in

Z/4Z. Conversely, if d ⌘ 0, 1 (mod 4), then d = b



2

+ 4a for b = 0 or 1

and disc(a, b, 1) = d. Moreover for any integer k, (a

k

k



2

, b + 2k, 1)

is another solution.

From now on, we valid change notations and replace the letter “n” by



“d” (for “discriminant”). We denote by R

disc


(d) the representation of d by

the discriminant quadratic form and by R

disc


(d) the set of primitive repre-

sentations (ie. such that (a, b, c) = 1). It follows from the explicit action of

PGL

2

on the space of binary quadratic form (3.2), that the lattice of integral



binary forms Sym

2

(



Z) is stable by PGL

2

(



Z), thus PGL

2

(



Z) act on R

disc


(d)

and on R


disc


(d). While these sets are infinite, the set of PGL

2

(



Z)-orbits is

finite: this is the content of Gauss reduction theory:

Theorem 4.1 (Gauss). The set of primitive orbits PGL

2

(



Z)\R

disc



(d) is

finite.


Proof. Specifically Gauss proved (using the fact that SL

2

(



Z) is gener-

ated by the matrices

1 1


0 1

and



0

1



1 0

) that any such orbit has a



representative (a, b, c) such that

(

|d



1/2

2

|c|| < b < d



1/2

if d > 0


0

 |b|  |a|  |c|

if d < 0

.



By the discussion in

§5 of the previous chapter (PSL

2

(

Z) has index 2



in PGL

2

(



Z)), it follows from Dirichlet class number formula and Siegel’s

theorem that

Theorem 4.2. Given d a discriminant, one has

|PGL


2

(

Z)\R



disc


(d)

| = |d|


1/2+o(1)

|PGL


2

(

Z)\R



disc

(d)


| = |d|

1/2+o(1)


4.1. Discriminant and quadratic fields. The representations of in-

tegers by the dicriminant are closely related to quadratic fields: we discuss

this relation in details in the present section.

Let d be a discriminant which is not a perfect square; let (a, b, c)

2

R



disc

(d) be a primitive representation, and let

(4.1)

m = m


a,b,c

=



b

2c

2a



b

by the trace zero matrix associated to it via the map (3.1), since



m

2

= dId



4. REPRESENTATIONS BY THE DISCRIMINANT

41

this defines an embedding of the quadratic field (d is not a square) K =



Q(

p

d) into M



2

(

Q)



m

:



K

7!

M



2

(

Q)



u + v

p

n



7! uId + v.m

Let


O

m

:= M



2

(

Z) \ ◆



m

(K)


be the order associated with m, one has

1



m

(O

m



) = O

d

=



Z[

d +


p

d

2



]

is the order of discriminant d. In other terms ◆

m

is an optimal embedding



of O

d

into M



2

(

Z).



m

(u + v



d +

p

d



2

) =


u + v


d+b

2

av



cv

u + v


d b

2



Since d

⌘ b(2), it is clear that ◆

m

(O

d



)

⇢ M


2

(

Z); conversely if ◆



m

(u + v


d+

p

d



2

)

belongs to M



2

(

Z) one has



v

2

1



(a, c)

Z, u + v


d

b

2



2 Z, v 2

1

b



Z

and by primitivity v

2 Z, from which follows that u 2 Z (since

d b


2

2 Z).


Proposition 4.2. The above defines a bijection between

Primitive representations up to sign:

±(a, b, c) 2 R

disc



(d)/

{±1}


and

Optimal embeddings ◆ : O

d

,

! M



2

(

Z).



The group PGL

2

(



Z) acts on both sides (by conjugation on the set of

optimal embeddings) and the above bijection induces a bijection between the

corresponding orbits: PGL

2

(



Z)\R

disc



(d) and the GL

2

(



Z)-conjugacy classes

of optimal embeddings.

Finally, we have the following

Proposition 4.3. There is a bijection between

The GL

2

(



Z)-conjugacy classes of optimal embeddings of O

d

and the ideal class group



Pic(O

d

) =



{[I] = K

.I, I



⇢ K a proper O

d

-ideal



}.

Proof. Given a proper O

d

-ideal I


⇢ K, one choose a Z-basis I =

Z.↵ + Z. which give an identification

✓ :

I

7!



Z

2

u↵ + v



7! (u, v)

42

2. THE DETERMINANT AND THE DISCRIMINANT

This identification induces the embedding

◆ : K ,


! M

2

(



Q)

defined by

◆( )(u, v) = ✓( .(u↵ + v )),

(or in other terms, such that ✓( .x) = ◆( )✓(x)).

Since O

d

.I



⇢ I, one has ◆(O

d

)



Z

2

⇢ Z



2

, that is ◆(O

d

)

⇢ M



2

(

Z) and the



fact that I is a proper O

d

-ideal is equivalent to the fact that ◆ is an optimal



embedding of O

d

.



If we replace the

Z-basis (↵, ) by another basis, then

(↵

0

,



0

) = (u↵ + v , w↵ + z )

with



u v



w z

2 GL



2

(

Z) and one see that ◆ is replaced by a GL



2

(

Z)-



conjugate. Finally if I is replaced by an ideal in the same class I

0

= .I



2 K

, then one check esily that the corresponding GL



2

(

Z)-conjugacy



classes coincide: [◆

I

0



] = [◆

I

].



The inverse of the map

[I]


7! [◆

I

]



is as follows: given ◆ : K

7! M


2

(

Q) an optimal embedding of O



d

, let e


1

=

(1, 0)



2 Z

2

be the first vector of the canonical basis



1

of

Z



2

, the map

✓ :

K

7!



Q

2

7! ◆( ).e



1

is an isomorphism of

Q-vector spaces; let I = ✓

1

(



Z

2

), this is a lattice in K



which is invariant under multiplication by O

d

: I is an O



d

-ideal and it being

proper is equivalent to ◆ being optimal.

5. Equidistribution of representations



To investigate the distribution of representations, we proceed as before

and introduce the a ne varieties of level

±1

V

disc,



±1

(

R) = {(a, b, c) 2 R



3

, b


2

4ac =


±1}.

Given d a non zero discriminant, we may consider the projection of R

disc

(d)


on the variety of level

±1 = sign(d):

|d|

1/2


R

disc


(d)

⇢ V


disc,

±1

(



R).

Observe that V

disc, 1

(

R) is the variety noted V



1

(

R) in §2.1.1.



V

disc,1


(

R) is a one sheeted (ie. connected) hyperboloid and V

disc, 1

(

R) a



two sheeted hyperboloid (the two components being determined by the sign

of a)


By Witt’s theorem, both are acted on transitively by the orthogonal

group SO


disc

(

R) ' PGL



2

(

R) and therefore one has the identification



V

disc,


±1

(

R) ' SO



disc

(

R)/ SO



disc

(

R)



x

±1

1



we could have choosen any primitive vector in

Z

2



6. TRANSITION TO LOCALLY HOMOGENEOUS SPACES

43

for some choice of point x



±1

2 V


disc,

±1

(



R) with stabilizer SO

disc


(

R)

x



±1

.

Because of this V



disc,

±1

(



R) admit a natural SO

disc


(

R)-invariant measure

(a quotient of Haar measures -cf. Chap. ??-) well defined up to positive

scalars, µ

disc,

±

. This measure may also be described in elementary terms :



for ⌦

⇢ V


disc,

±1

(



R) an open subset, let

C(⌦) = {r.x, x 2 ⌦, r 2 [0, 1]}

be the solid angle supported by ⌦, then

µ

disc,



±

(⌦) = µ


R

3

(



C(⌦))

were µ


R

3

is the Lebesgue measure.



One has then the following equidistribution statement:

Theorem 5.1. As d

! 1, |d|

1/2


R

disc


(d) becomes equidistributed on

V

disc,



±1

(

R) (±1 = sign(d)) w.r.t. µ



disc,

±1

in the following sense: for '



1

, '


2

2

C



c

(V

disc,



±1

(

R)) such that µ



disc .

±1

('



2

)

6= 0, then



P

x

2R



disc

(d)


'

1

(



|d|

1/2


x)

P

x



2R

disc


(d)

'

2



(

|d|


1/2

x))


!

µ

disc,



±1

('

1



)

µ

disc,



±1

('

2



)

, d


! 1.

More precisely, there is a positive constant

> 0 depending only on the

choice of the measure µ

disc,

±1

such that for any '



2 C

c

(V



disc,

±1

(



R)),

(5.1)


X

x

2R



disc

(d)


'(

|d|


1/2

x) = (µ


disc,

±1

(') + o(1))



|d|

1/2+o(1)


.

6. Transition to locally homogeneous spaces

The starting point of the proof is the group theoretic interpretation of

the problem.

Let Q denote the quadratic form disc. By Witt’s theorem, the varieties

V

Q,



±1

(

R) are acted on transitively by the orthogonal group



SO

Q

(



R) ' PGL

2

(



R) =: G;

so the choice of some point x

0

= (a


0

, b


0

, c


0

)

2 V



Q,

±1

(



R), induces an homeo-

morphism


(6.1)

V

Q,



±1

(

R) = G.x



0

' G/H


where H := Stab

x

0



(G) denote the stabilizer of x

0

. To be specific, we will



take x

0

= (0, 1, 0) in the +1 case and x



0

= (1/2, 0, 1/2) in the

1 case;

under the identification (3.1) correspond to the choice of the matrices



m

0

=



1

0



0

1



, and m

0

=



0

1



1 0

so that H is is either



- the split torus A = diag

2

(



R)

/



R

.Id (ie. the image of the diagonal



matrices in PGL

2

(



R)),

- the non-split torus K := PSO

2

(

R) = SO



2

(

R)/{±Id}.



44

2. THE DETERMINANT AND THE DISCRIMINANT

The choice of Haar measures µ

G

, µ



H

on (the unimodular group) G and H

then determine a left G-invariant quotient measure

µ

G/H



on G/H

' V


Q,

±1

(



R); that measure correspond to (a positive multiple of)

µ

Q,



±1

.

6.1. A duality principle. It follows from the previous discussion that



each representation (a, b, c)

2 R


Q

(d), or its projection

|d|

1/2


(a, b, c)

2

V



Q,

±1

(



R) is identified with some class g

a,b,c


H/H

2 G/H or what is the

same to an orbit g

a,b,c


H

⇢ G for some g

a,b,c

2 G such that



g

a,b,c


x

0

=



|d|

1/2


(a, b, c).

Let


= PGL

2

(



Z); as we have seen R

Q

(d) decomposes into a finite



disjoint union of -orbits; we denote by

[R

Q



(n)] =

\R

Q



(d)

the set of such orbits and by

[a, b, c] =

\ (a, b, c) 2 [R

Q

(d)];


one has

R

Q



(d) =

G

[a,b,c]



2[R

Q

(d)]



.(a, b, c)

and (6.1) identifies

|d|

1/2


.R

Q

(d) with



G

[a,b,c]


2[R

Q

(d)]



g

a,b,c


H/H

⇢ G/H;


thus the problem of the distribution of

|d|


1/2

.R

Q



(d) inside V

Q,

±1



(

R) is a


problem about the distribution of a collection of -orbits inside the quotient

space G/H.

We note the tautological equivalence

(6.2)


gH/H

 ! gH  ! \ gH,

between (left)

-orbits on G/H and (right) H-orbits on

\G. From this

equivalence and the previous identification, one could expect that studying

the distribution of

|d|


1/2

.R

Q



(d) inside V

Q,

±1



(

R) is tantamount to studying

the distribution of some collection of right-H orbits, indexed by [R

Q

(d)]



inside the homogeneous space

\G namely

Y

d

=



[

[a,b,c]


2[R

Q

(d)]



x

[a,b,c]


H

⇢ \G


with x

[a,b,c]


=

\ g


a,b,c

.


6. TRANSITION TO LOCALLY HOMOGENEOUS SPACES

45

6.2. The shape of orbits. Let us describe more precisely the structure


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