The Poincar´e-Lindstedt Method: the van der Pol oscillator


Download 27.52 Kb.

Sana23.01.2018
Hajmi27.52 Kb.

The Poincar´e-Lindstedt Method:

the van der Pol oscillator

Joris Vankerschaver

jv@caltech.edu

The purpose of this document is to give a detailed overview of how the Poincar´

e-Lindstedt

method can be used to approximate the limit cycle in the van der Pol system

¨

x + (x



2

− 1) ˙x + x = 0

where

> 0 is small.



1. Introduce a new time scale τ = ωt so that the new period becomes 2π. The van der

Pol equation becomes

ω

2

x + ω(x



2

− 1)x + x = 0,

where x = ω

−1

˙



x represents the derivative of x with respect to the new parameter τ ,

and similar for x .

2. Substitute series expansions for

x (τ ) = x

0

(τ ) + x


1

(τ ) + · · ·

and

ω = ω


0

+ ω


1

+ · · ·


into the equation. Note that ω

0

= 1 since the solution has period 2π when



= 0.

Substitute the same expansions into the initial conditions and find the resulting initial

conditions for x

i

(t).



For the van der Pol equation we have hence

(1 + ω


1

+ · · · )

2

(x

0



(τ ) + x

1

(τ ) + · · · )+



(1 + ω

1

+ · · · )[(x



0

(τ ) + x


1

(τ ) + · · · )

2

− 1)+


x

0

(τ ) + x



1

(τ ) + · · · = 0.

3. Collect terms of the same order in . We get the following equations (up to second

order):


x

0

+ x



0

= 0


x

1

+ x



1

= −2ω


1

x

0



− (x

2

0



− 1)x

0

x



2

+ x


2

= −(ω


2

1

+ 2ω



2

)x

0



− 2ω

1

x



1

− (x


2

0

− 1)(x



1

+ ω


1

x

0



) − 2x

0

x



1

x

0



.

Now suppose the initial conditions are x(0) = a and ˙

x(0) = 0, with a a constant which

is not yet determined. The initial conditions for the order-by-order equations then

become

x

0



(0) = a,

x

1



(0) = x

2

(0) = 0



and

x

0



(0) = x

1

(0) = x



2

(0) = 0.


1

2

4. Solve the resulting equations for x

i

(τ ), i = 0, 1, . . .. Use the freedom in choosing the



coefficients ω

i

to eliminate resonant forces. Adapt the initial conditions to correspond



to a periodic orbit. As to the latter, this is a special feature of the Poincar´

e-Lindstedt

method, which is designed to determine periodic solutions: any attempt to choose the

initial conditions to correspond to a non-periodic orbit will lead to resonant forces

which cannot be eliminated through a specific choice of ω

1

.



For the zeroth-order equation, we have x

0

(τ ) = a cos τ . Substituting this into the



equation for x

1

we obtain



x

1

+ x



1

= 2aω


1

cos τ − a

1 −

a

2



4

sin τ +


a

3

4



sin 3τ.

There are two distinct resonant forces here: the term proportional to cos τ can be

eliminated by choosing ω

1

= 0, while in order to suppress the term proportional to



sin τ we have to choose the initial conditions so that a = ±2. Let us pick a = 2. The

resulting equation becomes x

1

+ x


1

= 2 sin 3τ , with solution x

1

(τ ) = sin



3

τ .


Using this scheme, one can now solve the equations up to any desired order, but the

calculations become progressively more difficult, often making it necessary to use a

computer algebra package. As a last step, let us determine ω

2

, which will be the first



non-trivial correction to the frequency. For this, we need to consider the equation for

x

2



, which becomes

x

2



+ x

2

= (4ω



2

+ 11) cos τ − 31 cos

3

τ + 20 cos



5

τ.

The right-hand side can be rewritten as



2

+



1

4

cos τ + A cos 3τ + B cos 5τ,



where we don’t need the coefficients A, B of the higher harmonics. In order to eliminate

the resonant force, we need to choose

ω

2

= −



1

16

.



The resulting solution is

x(t) = 2 cos ωt + sin

3

ωt + · · · ,



with

ω = 1 −


1

16

2



+ · · · .

We hence recover the fact that, for weak nonlinearities, the limit cycle of the van der



Pol oscillator is approximately circular with radius 2.


Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling