Theoretische Physik 2 Quantenmechanik 1 Drehimpulsoperator und Kommutator
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Claudius Knaak, 2003
www.knaak.bplaced.de Theoretische Physik 2 - Quantenmechanik 1
[L i , L j ]
Definition des Kommutators: [A, B] = AB - BA
Der Drehimpulsoperator L i ist folgendermaßen definiert: k j ijk i p x L ε = mit i =1,2,3
Dabei ist − = = gleich
Indizes drei
od.
zwei
falls
0 132) (z.B.
antizykl. ijk
1 zyklisch oder
123 ijk
falls 1
ε
Zur Definition des Drehimpulsoperators:
Man geht aus von der Definition des Drehimpulses: − − − = = = x y z x y z z y x yp xp xp zp zp yp p p p z y x p r L x
x
Es sei: z y x p p z x p p y x p p x x = = = = = = 3 3 2 2 1 1
= − − − = 3 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 L L L p x p x p x p x p x p x L
Betrachte nun L 1 :
2 3 3 2 1
x p x L − =
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Claudius Knaak, 2003
www.knaak.bplaced.de Ausgehend von 1 123 = ε erhält man: = = = = = = = = + = − = 3 1 , 3 1 , 1 3 2 , 1 2 3 132 3 2 123 2 3 123 3 2 123 1 n m n m imn n m imn i n m n m mn n m n m mn p x p x L p x p x p x p x p x p x L ε ε ε ε ε ε ε ε
Im letzten Schritt wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet: über doppelt auftretende Indizes wird summiert.
Dabei wird p i im Ortsraum als Operator geschrieben:
(1)
i i i i x i p ∂ = ∂ ∂ →
Nun zur Berechnung des Kommutators:
( ) l k n m n m l k jmn ikl l k ikl n m jmn n m jmn l k ikl n m jmn l k ikl j i p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x L L − = = − = = ε ε ε ε ε ε ε ε ] , [ ] , [
Mit (1) wird dies zu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l k n m n m l k jmn ikl l n k m l k n m n l m k n m l k jmn ikl l k n m n m l k jmn ikl l k n m n m l k jmn ikl x x x x x x x x x x x x x x x x i x i x i x i x ∂ ∂ − ∂ ∂ − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ ε ε ε ε ε ε ε ε 2 2 2
Es gilt: lm m l l m m l x l m l m x x x δ = ∂ ≠ = = ∂ ∂ = ∂
falls
0
falls
1
(Das Kronecker-Symbol δ ik ist wie folgt definiert:
≠ = =
i k i ik
falls 0
falls
1 δ )
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www.knaak.bplaced.de Damit erhält man:
( ) ( ) ( ) ( ) l m jmk ilk n k jnl ikl l m jmk ikl n k j ikl l nk m jmn ikl n lm k jmn ikl l nk m n lm k jmn ikl x x x x x x x x ∂ − ∂ = = ∂ + ∂ − = = ∂ + ∂ − = = ∂ − ∂ − ε ε ε ε ε ε ε ε δ ε ε δ ε ε δ δ ε ε 2 ln 2 2 2
Mit kj in kn ij l ljn lik ljn lik jnl ikl δ δ δ δ ε ε ε ε ε ε − = = =
hat man: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m lj im n k kj in l m lj im l m lm ij n k kj in n k kn ij l m lj im lm ij n k kj in kn ij l m kjm kil n k ljn lik l m jmk ilk n k jnl ikl x x x x x x x x x x x x ∂ − ∂ − = = ∂ + ∂ − ∂ − ∂ = = ∂ − − ∂ − = = ∂ − ∂ = ∂ − ∂ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ε ε ε ε ε ε ε ε 2 2 2 2 2
Ersetze nun m durch k und l durch n. n l k m → →
( ) ( ) l ijl n k lkn ijl n k lkn lij n k lkn lij n k k lij n k nj ik kj in n k nj ik n k kj in L i p x i p x i i x i x x x x ε ε ε ε ε ε ε ε ε δ δ δ δ δ δ δ δ = = = = = = ∂ = = ∂ − = = ∂ − − = = ∂ − ∂ − ln 2 2 2
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