Titreşim Analizine

Critically damped motion
0
1
2
3
4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
Displacement (m
m)
k=225N/m m=100kg and 
=1
x
0
=0.4mm v
0
=1mm/s 
x
0
=0.4mm v
0
=0mm/s 
x
0
=0.4mm v
0
=-1mm/s

Overdamped motion
0
1
2
3
4
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Time (sec)
Displacement (m
m)
k=225N/m m=100kg and 

=2
x
0
=0.4mm v
0
=1mm/s 
x
0
=0.4mm v
0
=0mm/s 
x
0
=0.4mm v
0
=-1mm/s

Zayıf Sönüm
0
1
2
3
4
5
-1
-0.5
0
0.5
1
zaman(saniye)
Deplasman

Vuru Beating
Çalışma frekansları arasındaki fark çok 
küçükse
0
5
10
15
20
25
30
-1
-0.5
0
0.5
1
Time (sec)
Displacement (x)
2 f
0

n
2


2
sin

n


2
t






Larger 
amplitude

What happens when 
 is 
n
?
When the drive 
frequency and natural 
frequency are the 
same the amplitude 
of the vibration grows 
without bounds. This 
is known as a 
resonance
condition
0
5
10
15
20
25
30
-5
0
5
Time (sec)
Displacement (x)


2
0
f
X
X
t
tX
t
x
p


     
          
 
for
 
solve
 
and
 
eq.
 
into
 
substitute
)
sin(
)
(





bound
 
out
 
 with
grows
)
sin(
cos
sin
)
(
t
t
f
t
A
t
A
t
x




2
0
2
1




Harmonically Excited Systems
Equations of motion (c =0):
m
k
m
F
f
t
f
t
x
t
x
t
F
t
kx
t
x
m
n
n











    
,
/
    
where
)
cos(
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
0
0
0
2
0



Sönümsüz Zorlanmış Titreşim 
Hareket Denkleminin Bulunması
En genel halde harmonik bir dış kuvvet                        olsun.
( )
0
F
F cos t
w
=
Hareketin diferansiyel denklemi:
( )
0
mx kx
F cos t
w
+
=

Hareket denkleminin genel çözümü:
( )
( )
( )
( )
g
h
ö
x t
x t
x t
x t
=
=
+
Homojen çözüm:
( )
(
)
(
)
h
1
n
2
n
x t
A cos
t
A sin
t
w
w
=
+
Uyarıcı kuvvet        harmonik olduğu için özel çözüm           ‘de 
harmonik ve aynı
frekansına sahip olacaktır.
( )
F t
( )
ö
x t

( )
( )
ö
x t
Xcos t
w
=
1
2
3
4

( )
( )
( )
( )
( )
( )
ö
ö
2
ö
x t
X cos
t
x t
X sin
t
x t
X cos
t
w
w
w
w
w
=
= -
= -


5
5  1
’in içine konulursa; 
6
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2
0
2
0
0
2
m X cos
t
k cos
t
F cos
t
F
k m
X cos
t
F cos
t    
   X
k-m
w
w
w
w
w
w
w
w
-
+
=
-
=

=
Genel çözüm:
( )
(
)
( )
( )
0
1
n
2
n
2
F
x t
A cos
t
A sin
t
cos
t
k m
w
w
w
w
=
+
+
-
7

Başlangıç şartları,
0
t 0
0
t 0
x
x
x
x
=
=
ì
=
ïïï
íï
=
ïïî

ise,
olarak bulunur ve genel çözüm:
0
1
0
2
0
2
n
F
A
x
k m
x
A
w
w
=
-
-
=

( )
(
)
(
)
( )
0
0
0
0
n
n
2
2
n
F
x
F
x t
x
cos
t
sin
t
cos
t
k m
k m
w
w
w
w
w
w
æ
ö÷
ç
=
-
+
+
÷
ç
÷
çè
ø
-
-


n
X       
w
w
‘ in      ile değişimi

2
n
0
0
0
0
2
2
2
2
2
0
n
n
F
F
F
F
X k
1
k
k
k
X
 
 
X
 
 
m
k m
F
1-
1
1
1
k
k
m
w
w
w
w
w
w
w
w
=

=
=
=

=
-
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
-
÷
÷
-
-
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
Genlik oranı veya büyütme faktörü.
0
X k
R
F
=

1.Durum:                    ise;
n
0
1
w
w
<
<
( )
( )
0
F t
F cos t
w
=
t

t

( )
( )
ö
x t =Xcos ωt

( )
( )
0
F t
F cos t
w
=
t

t

( )
( )
ö
x t
Xcos t
w
=
2.Durum:                    ise;
n
1
w
w
>

( )
( )
0
F t
F cos t
w
=
t
t
( )
x t
3.Durum:                    ise;
n
1
w
w
=

Problem: Aşağıda denge konumundaki sistemin verilen 
değer ve başlangıç şartlarına bağlı olarak 2 s için hareketini 
inceleyiniz.
L
 ,
m
cubuk
2
m,e,w
x
k
M

Çözüm:
2
cubuk
x
L     x
L      x
L
1
J
m
L
3
j
j
j
=
=
=
=





Jj
kx
x
x
M 


0
2
F
F
me
cos t
w
w
=

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
2
2
2
2
cubuk
M
J
J
Mx   L
kx   L
F  L
1
m
L
ML
kL
me
L cos t
3
j
j
j
j
w
w
å
=
+
= -
+
æ
ö÷
ç
+
+
=
÷
ç
÷
çè
ø





cubuk
3 
0
0
0
0
m
30 kg   M
300 kg   m
0.5 kg   
e
1 m   n
2000 d/d   L
2 m   k
50 10  N/m
5
x
180
t
0     
8
x
180
p
j
p
j
=
=
=
=
=
=
=
ìïï = =
ïïï
=
íï
ï
=
=
ïïïî


( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
0
M
n
0
0
0
0
n
n
2
2
n
-
n
2000
       
66.66  rad/s
30
30
1240
200000
43856cos 66.66 t
k
200000
4.042  rad/s
m
1240
M
M
t
cos
t
sin
t
cos
t
k m
k m
t
0.0881cos 4.042 t
0.011sin 4.042 t
8.0943  10
p
p
w
p
j
j
p
w
p
j
j
j
w
w
w
w
w
w
j
p
p
=
=
=
+
=
=
=
=
æ
ö÷
ç
=
-
+
+
÷
ç
÷
çè
ø
-
-
=
+
-



(
)
4
cos 66.66 t
p

Problem: Aşağıdaki sistemin titreşim hareketini 4 s için 
çiziniz.
m
k
x
1
F
1200cos 20 t
p
=
2
F
2500sin 20 t
p
=

Çözüm:
2
F
2500sin 20 t
p
=
m
kx
x
x
m 

1
F
1200cos 20 t
p
=

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
(
)
1
2
1
2
1
2
2
0
F
ma
mx
kx F
F
mx kx
F
F
120x 25000x 1200cos 20 t 2500sin 20 t
2500
tan
   
   
64.35
1200
F
1200
2500
2773 N
120x 25000x
2773cos 20 t-64.35
p
p
f
f
p
-
å =
= - + +
+
= +
+
=
+
=

=
=
+
=
+
=







0
0
m 120 kg   k
25000 N/m   
x
0.01  m
t
0     
x
0.2  m/s
=
=
ì =
ïï
=
íï =
ïî
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
n
0
0
0
0
n
n
2
2
n
k
25000
4.59  rad/s    
20
m
120
F
x
F
x t
x
cos
t
sin
t
cos
t
k m
k m
x t
0.0162cos 4.59 t
0.0139sin 4.59 t
0.0062cos 20 t 64.35
w
p
w
p
w
w
w
f
w
w
w
p
p
p
=
=
=
=
æ
ö÷
ç
=
-
+
+
-
÷
ç
÷
çè
ø
-
-
=
+
-
-



Sönümlü Zorlanmış Titreşim
Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması:
Newton’un 2. kanununa göre, 
F
m a   
  m x
-c x-k x
F   
  m x
c x
k x
F
S =

=
+

+
+
=




m
x
k
c
( )
0
F
F cos t
w
=
m
x
m 
x
k
x
 
c 
( )
0
F
F cos t
w
=

Sönümlü Zorlanmış Titreşim 
Hareket Denkleminin Bulunması
En genel halde harmonik bir dış kuvvet                        olsun.
( )
0
F
F cos t
w
=
Hareketin diferansiyel denklemi:
Hareket denkleminin genel çözümü:
( )
( )
( )
( )
g
h
ö
x t
x t
x t
x t
=
=
+
Homojen çözüm:
( )
(
)
(
)
h
1
n
2
n
x t
A cos
t
A sin
t
w
w
=
+
Uyarıcı kuvvet        harmonik olduğu için özel çözüm           ‘de 
harmonik ve aynı
frekansına sahip olacaktır.
( )
F t
( )
ö
x t
w
1
2
3
4
( )
0
mx cx
kx
F cos
t
w
+
+
=


( )
(
)
ö
x t
X cos
t
w
f
=
-

5
5  1
’in içine konulursa; 
6
Aşağıdaki trigonometrik bağıntılar kullanılarak;
7
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
ö
ö
2
ö
x t
X cos
t
x t
X sin
t
x t
X cos
t
w
f
w
w
f
w
w
f
=
-
= -
-
= -
-


(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
( )
2
0
2
0
m X cos t
c Xsin
t
k cos
t
F cos t
k m
cos
t
c sin
t
X
F cos
t
w
w
f
w
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
f
w
-
- -
- +
-
=
é
ù
-
- -
-
=
ê
ú
ë
û
(
)
(
)
cos
t
cos t cos
sin t sin
sin
t
sin t cos
cos t sin
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
w
f
=

=




7
nolu eşitlik 
6
denklemine konulursa;
(
)
(
)
(
)
2
0
X k m
  cos t cos
sin t sin
c sin t cos
cos t sin
F cos t
w
w
f
w
f
w
w
f
w
f
w
é
ù
-
+
-
-
=
ê
ú
ë
û
(
)
(
)
2
0
2
X k m
cos
c sin
F
X k m
sin
c cos
0
w
f
w
f
w
f
w
f
é
ù
-
+
=
ê
ú
ë
û
é
ù
-
-
=
ê
ú
ë
û
ve          ‘nin katsayılarını eşitlersek;
t
sin
      
t
cos


8
9
Bu iki denklemin karelerini alalım:
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2
X
k m
cos
c
sin
2 k m
 c cos sin
F
X
k m
sin
c
cos
2 k m
 c cos sin
0
w
f
w
f
w
w
f
f
w
f
w
f
w
w
f
f
é
ù
-
+
+
-
=
ê
ú
ë
û
é
ù
-
-
-
-
=
ê
ú
ë
û
10
ve taraf tarafa toplayalım;

(
)
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
0
0
2
2
2
F
X
k m
c
F     
    X
k m
c
w
w
w
w
é
ù
-
+
=

=
ê
ú
ë
û
-
+
11
9
nolu denklemden;
(
)
2
-1
2
0
c
X k m
sin
c cos
0   
   
tan
k m
w
w
f
w
f
f
w
=
æ
ö
é
ù
÷
ç
-
-
=

=
÷
ç
ê
ú
÷
ç
ë
û
è
ø
-

12
Genel çözüm:
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
0
1
n
2
n
2
2
2
F
x t
A cos
t
A sin
t
cos t
k m
c
w
w
w
f
w
w
=
+
+
-
-
+
13

Büyütme Oranı
0
2
2
2
F
k
X
m
c
1
k
k
w
w
=
æ
ö
æ
ö
÷
ç
÷
ç
÷
-
+
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
11
ve 
12
denklemlerini boyutsuzlaştıralım, her iki denklemin pay 
ve paydasını
‘ya bölelim:
k
-1
2
c
k
tan
m
1
k
w
f
w
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
-
÷
ç
÷
çè
ø
14
n
kr
n
kr
k
m
c
2m
c
c
w
w
x
=
=
=
Sönümsüz tabii frekans
Kritik sönüm katsayısı
Sönüm oranı
15

15 
eşitlikleri 
14
denklemlerine konursa;  
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
0
n
n
X k
1
1
F
1 r
2 r
1
2
x
w
w
x
w
w
=
=
é
ù
é
ù
-
+
æ
ö
æ
ö
ê
ú
÷
÷
ç
ç
ê
ú
÷
÷
-
+
ç
ç
ê
ú
÷
÷
ê
ú
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
ë
û
1
1
n
2
2
n
2
2 r
tan
tan
1 r
1
w
x
w
x
f
w
w
-
-
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè ø
=
=
-
æ
ö÷
ç
÷
-ç ÷
ç
÷
çè ø
17
16
Burada,                dir.
n
r
w
w
=

Büyütme Faktörü-Hız Oranı
Değişimi.
Hız oranı
n
r
w
w
=
R
Büyütme fa
ktö
rü
0
x =
0.15
x =
1
x =
0.25
x =
0.5
x =
0.375
x =
0.1
x =
0
X k
R
F
=

Faz Açısı-Hız Oranı Değişimi.
Hız oranı
n
r
w
w
=
Faz
 aç
ıs
ı
[derece]
0
x =
1
x =
0.2
x =
0.5
x =
0.1
x =
0.3
x =
0.7
x =
2
x =
f

Büyütme Faktörü ile Faz Açısı-Hız 
Oranı Arasındaki İlişki:
• Sönümsüz bir sistem            için;
• Sönüm, genlik oranını tüm zorlayıcı frekans değerlerinde azaltır.  
• Sönümün genlik oranını azaltması, rezonans frekansında veya 
civarında çok belirgindir.
• Genlik oranının maksimumu; 
0
x =
r 1     
     
0
r 1   
   
90
r 1     
     
180
f
f
f
<

=
=

=
>

=



2
r
1 2x
=
-
veya
2
d
n
1
w
w
x
=
-
değerlerinde meydana gelir.

Zemini Hareketli Sönümlü
Zorlanmış Hareket
y
x
m
k
c
( )
( )
y t
Y sin
t
w
=
t
x
x
m 
(
)
k x y
-
(
)
c x y
-


m