Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Схема Халецкого

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ (НИ ТГУ)
Механико-математический факультет
Кафедра вычислительной математики и компьютерного моделирования
ОТЧЕТ
по практике по получению первичных профессиональных умений и навыков
на тему «Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Схема Халецкого»
Выполнил
студент группы №___
_______Д. Н. Андреев
Проверил
ст. преподаватель
________В. И. Лаева
___________________
оценка
Томск–2021

Оглавление

Теория 3
Задача и результат выполнения 10
Вывод 20

Теория

К основным проблемам линейной алгебры относятся следующие: решение систем линейных уравнений, вычисление определителей, нахождение элементов обратной матрицы, вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. В данном разделе рассмотрим первую задачу, решая вместе с ней вторую и третью.
Задача решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) часто встречается в приложениях. К решению систем линейных уравнений приводятся краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, если их решать разностными методами
Запишем систему линейных алгебраических уравнений в виде

(4.1)

Здесь  – квадратная матрица порядка  ;
– вектор-столбец неизвестных и вектор-столбец правых частей соответственно. При этом  , где  – вещественное линейное  -мерное векторное пространство.
Систему (4.1) можно записать в развернутом виде:

(4.2)

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения

системы (4.1) или (4.2) является  . Если  , то система (4.1) или не имеет решения, или имеет бесчисленное множество решений.
Проиллюстрируем эти случаи на примере системы ( ):

(4.3)

Каждое уравнение системы (4.3) задает на плоскости  прямую. Решением системы (4.3) являются координаты точки пересечения заданных прямых.
В случае системы (4.3) возможны следующие три ситуации:
а) Тогда 
и прямые пересекаются в единственной точке (рис. 4.1, а).
б) Тогда 
и наклоны прямых равны. Прямые либо параллельны, либо совпадают (рис. 4.1, б).

Рис. 4.1
в)
В этом случае прямые почти параллельны и координаты точки их пересечения чувствительны к ошибкам округлений. Другими словами, малые погрешности округлений могут привести к существенным изменениям в решении. Такие системы уравнений принято называть плохо обусловленными (см. [4, c. 126–127]).
Отметим, что близость  к нулю является необходимым, но не достаточным условием для плохой обусловленности системы (4.3).
В теоретических исследованиях вводится число обусловленности матрицы, которое основывается на понятии нормы матрицы.
Напомним, что решение системы (4.1) рассматриваем в вещественном линейном -мерном векторном пространстве  . При этом матрицу  отождествляем с линейным оператором  . В пространстве  можно ввести норму вектора несколькими способами (см. [5, с. 80–87]):

(4.4)

Нетрудно убедиться, что эти нормы удовлетворяют трем аксиомам норм (см. [5, с. 83]).
При решении задач линейной алгебры матрицы и векторы рассматриваются одновременно. Поэтому норму матрицы  определяют так, чтобы она была согласованной с нормой вектора  (см. [5, c. 84]).