To'plam berilgan bo'lsin. Bu

Gruppalashlar

{a_va₂,a_v...,a_n} to'plam berilgan bo'lsin. Bu n elementli to'plamning elementlaridan m ta elementga ega qism to'p-lamlarni shunday tashkil etamizki, ular bir-biridan elementlarining joylashish tartibi bilan emas, faqat tarkibi bilan farq qilsinlar.Bunday m ta elementli qism to'plamlarning har biriga n ta ele-mentdan m tadan gruppalash, deb ataladi.
«nta elementdan mtadan gruppalashlar sonini C_nbilan belgilaymiz.
Gruppalaslilar sonini (^m) yoki {^Лshaklda belgilashlar ham
uchraydi. Gruppalash ta'rifidan \ekanligi va agar biror gruppalashda qandaydir usul bilan elementlar o'rinlari almash-tirilsa, u (gruppalash sifatida) o'zgarmasligi kelib chiqadi. Bu yerda qaralayotgan gruppalash tarkibida elementlarning takrorlanmasligini eslatib o'tamiz. Shu sababli bunday gruppalashni betakror (takrorli emas) gruppalash, deb ham atash mumkin. Ushbu bobning 4-para-grafida takrorli gruppalashlar o'rganiladi.
Bir (n=l) elementli {a} to'plam uchun faqat bitta gruppalash
mavjud, u ham bo'lsa, bir (m=l) elementlidir: a. Demak, C\ =1.
Ikki 0=2) elementli {a,b} to'plam uchun bittadan (m=l)
gruppalashlar ikkita {a va b), ikkitadan (m=2) gruppalashlar esa
faqat bitta (ab). Demak, C₂=2, C₂=1.
Uch (n=3) elementli {a,b,c} to'plam uchun gruppalashlar: bittadan (m=l)— a,b va с (uchta); ikkitadan (m=2 )—ab,ac,bc (uchta); uchtadan (m=3) — abc (faqat bitta). Demak,
C\=3, C₃²=3, C₃³=l.
To'rtta (n=4) elementdan tashkil topgan {a,b,c,d} to'plam elementlaridan tuzilgan gruppalashlar: bittadan — a,b,c va d (to'rtta); ikkitadan — ab, ac, ad, be, bd, cd (oltita); uchtadan — abc, abd, acd, bed (to'rtta); to'rttadan abed (faqat bitta). Demak,
ф4,С₄²=6,С₄³ = 4,С₄⁴=1.
Yuqoridagi mulohazalar gruppalashlar sonini hisoblash for-mulasi qanday bo'lishiga to'liq oydinlik kiritmasa-da, dastlabki tahlil uchun muhimdir. Masalan, n ta elementdan barcha elementlarni
o'z ichiga oladigan faqat bitta gruppalash tashkil etish mumkin, degan yoki n ta elementdan bittadan n ta gruppalash bor, degan xulosalar ustida o'ylab ko'rish mumkin.
C™ sonni hisoblash uchun formula topish maqsadida quyida-gicha mulohaza yuritamiz.Ravshanki, agar n ta elementdan m tadan barcha gruppalashlarning har birida elementlarning o'rinlari imkoniyat boricha almashtirilsa, natijada «ta elementdan mtadan barcha o'rinlashtirishlar hosH bo'ladi. Bu yerda nta elementdan m tadan
tuzilgan C^tagmppalashningharbiridagi mta elementdan P_m=m\ta o'rin almashtirishlar hosil qilish mumkin bo'lganligi tufayli,
ko'paytirish qoidasiga asosan, P_mC„^m=A™ tenglik to'g'ridir. Demak,

formula o'rinlidir. Shunday qilib, quyidagi teorema isbotlandi.
3-teorema.n ta elementdan m tadan gruppalashlar soni eng kattasi n ga teng bo 'Igan m ta ketma-ket natural sonlar коpayt-masining dastlabki m ta natural sonlar коpaytmasiga nisbati
_m_ n(n-l)...(n-m+l) kabidir: 4 - ^ — •
4-misol.Qurilish tashkilotining duradgorlar bo'limida 15 ishchi bor. Ko'p qavatli uyning eshiklarini ta'mirlash uchun 3 duradgorni tanlash zarur.Agar bo'limdagi har bir duradgor bu topshiriqni bajarishga layoqatU bo'lsa, bunday tanlash imkoniyatlari (variant-lari) qancha?
Bo'limdagi har bir duradgor ta'mirlash ishini bajarishga layoqatli bo'lgani uchun, bu masalani hal qilishda gruppalashlar sonini topish formulasidan foydalanish mumkin. Bu yerda, n=\5,
151413
m=3 va C³= =455. Demak, 15 duradgor orasidan 3 nafa-
1-2-3
rini tanlash imkoniyatlari soni 455 ekan. ■
Agar ta'rif sifatida C°=l qabul qilinsa, «ta elementdan
mtadan gruppalashlar soni uchun yuqorida keltirilgan formula
оn\ m=0 bo'lgan holda ham to'g'ri bo'ladi: C_n=——^=1. Tabiiyki,
nta elementdan barcha elementlarni o'z ichiga oladigan faqat bitta gruppalash tashkil etish mumkin:
Gruppalashlar sonini hisoblash uchun C„ =—^-———_},
_m n(n-l)...(m+l) L„ ^=—ГТ—/ чko'rinishdagi formulalardan ham foydala-
nish mumkin. Bu formulalar quyidagi tengliklardan kelib chiqadi: bir qator Haqiqatan ham xossalarga ega, masalan,
Ixtiyoriy natural n soni uchun gruppalashlar soni