To'plamlarning o'lchovli bo'lishi zarur va yetarli

4. 7 -§.Cheksiz o'Ichovli to'plam bo'yicha olingan Lebeg integrali. Lebeg va Riman integrallarini taqqoslash
Shu paytgacha biz faqat chekli o'lchovli to'plamlarda Lebeg integrali va uning xossalarini ko'rib chiqdik. Lekin ko'plab masalalarni yechishda cheksiz o'lchovli to'plamda berilgan funksiyaning integralini qarashga to'g'ri keladi. Masalan, to' 'ri chiziqda berilgan funksiyaning Lebeg integrali bilan ishlashga to'g'ri keladi. Biz sanoqli sondagi chekli o'lchovli to'plamlarning birlashmasi ko'rinishida tasvirlanishi mumkin bo'lgan hol bilan chegaralanamiz.
7.1-ta'rif. Agar to'plamda o'lchov berilgan bo 'lib, to 'plamni sanoqli sondagi chekli o'lchovli to'plamlarning birlashmasi ko'rinishida tasvirlash mumkin bo 'lsa, u holda da o'lchov - chekli o'lchov deyiladi.
-chekli o'lchovlarga sonlar o'qidagi va tekislikdagi Lebeg o'lchovlari misol bo'la oladi.
-chekli bo 'lmagan o'lchovga misol sifatida sonlar o'qidagi o'lchovni quyidagicha aniqlaymiz. Har bir nuqtaning o'lchoviga birni mos qo'yamiz, ya'ni . U holda ning barcha qism to'plamlari o'lchovli bo 'ladi va agar to'plam chekli bo'lsa, uning o'lchovi chekli, qolgan hammasi cheksiz o'lchovli to 'plamlar bo 'ladi.
7.2-ta'rif. to'plamni qoplovchi ketma-ketlik deb, har qanday monoton o'suvchi ketma-ketlikka aytiladiki, u quyidagi ikkita shartni qanoatlantiradi:

1. 
   ,
   
2. 
   . 7.3-ta'rif. to'plamda - chekli o'lchov va da aniqlangan o'Ichovli funksiya berilgan bo'lsin. Agar funksiya ixtiyoriy chekli o'lchovli to 'plamda integrallanuvchi bo 'lib, har qanday qoplovchi ketma-ketlik uchun
   

limit mavjud bo'lsa, hamda bu limit ketma-ketlikning tanlanishiga bog'liq bo 'Imasa, holda funksiya to' 'lamda integrallanuvchi deyiladi va bu limit

uning to 'plam bo'yicha olingan Lebeg integrali deyiladi.
Lebeg va Riman integrallari orasidagi quyidagi bog'lanishni isbotlaymiz.
7.1-teorema. Agar kesmada

Riman integrali mavjud bo'lsa, holda funksiya kesmada Lebeg ma'nosida ham integrallanuvchi bo'ladi va

tenglik o'rinli.
Isbot. kesmani

nuqtalar yordamida ta bo'lakka bo 'lamiz. Bu bo 'linishga mos

Darbu yig'indilarini qaraymiz, bu yerda funksiyaning kesmadagi aniq yuqori chegarasi, esa shu kesmadagi aniq quyi chegarasi. Riman integralining ta'rifiga ko'ra,

chekli limit mavjud. Har bir da va sodda funksiyalarni quyidagicha aniqlaymiz:

Sodda funksiya integrali ta'rifiga ko'ra,

tengliklar o'rinli. ketma-ketlik o'smaydigan ketma-ketlik, ya'ni

esa kamaymaydigan ketma-ketlik, ya'ni

bo 'lgani uchun, deyarli hamma yerda

chekli limitlar mavjud. 6.2-Levi teoremasiga ko'ra

Shuning uchun

Bundan, deyarli hamma yerda ekanligi kelib chiqadi, ya'ni