To'plamlarning o'lchovli bo'lishi zarur va yetarli

5 -§. Ixtiyoriy funksiyalar uchun Lebeg integrali
va uning xossalari
Bu paragrafda Lebeg integralining asosiy xossalari o'rganiladi. Biz doim chekli o'lchovli to'plam va unda aniqlangan o'lchovli funksiyani qaraymiz.
5.1-ta'rif. Agar to'plamda funksiyaga tekis yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda funksiyalarning ketma-ketligi mavjud bo'lsa, u holda funksiya to 'plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi va uning integrali

tenglik bilan aniqlanadi.
Bu ta'rif korrekt, ya'ni kamchiliklardan holi bo lishi uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:
1).Har qanday tekis yaqinlashuvchi va to'plamda integrallanuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi uchun (5.1) limit mavjud bo 'lishi kerak.
2). Berilgan funksiya uchun (5.1) limit ketma-ketlikning tanlanishiga bog liq emas.
3).Agar funksiya sodda funksiya bo'lsa, bu ta'rif sodda funksiyalar uchun berilgan 4.1-ta'rif bilan usma-ust tushishi kerak.
1)-3) shartlarning bajarilishini ko'rsatamiz.

1. 
   Sodda funksiyalar uchun integralning va xossalaridan
   

tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa (5.1) limitning mavjudligini isbotlaydi.

2. 
   (5.1) limitning ga bog'liq emasligini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, ga tekis yaqinlashuvchi ikkita va ketma-ketliklar uchun (5.1) limit har xil qiymatlar qabul qilsin. U holda ketma-ketlik ga tekis yaqinlashadi, lekin bu ketma-ketlik uchun (5.1) limit mavjud emas. Bu esa hozirgina isbotlangan 1) shartga zid.
   
3. 
   shartni isbotlash uchun ixtiyoriy da deb olish yetarli.
   

Endi 5.1-ta'rifga teng kuchli bo'lgan quyidagi ta'rifni keltiramiz.
5.2-ta'rif. Agar har bir uchun (4.2) tenglik bilan aniqlanuvchi sodda funksiya integrallanuvchi bo'lsa, u holda funksiya to'plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchi deyiladi va uning integrali