Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasini Dalamber va Puasson formulalari yordamida yechish

Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasini Dalamber va Puasson formulalari yordamida yechish.
To’lqin tenglamasi uchun klassik Koshi masalasi deb, sinfga tegishli va da

tenglamani da esa

boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyani topishga aytiladi, bu yerda berilgan funksiyalar.
Agar da shartlar bajarilsa, u holda (1) - (2) Koshi masalasining yechimi mavjud va yagona bo’lib, u


Puasson formulasi orqali ifodalaniladi.
1- Misol. tenglama uchun qo’yilgan qo’yidagi

Koshi masalasining yechimi topilsin.
Yechish. (3) Puasson formulasiga ko’ra, berilgan tenglama va (4) shartdan foydalanib quyidagini






hosil qilamiz. Demak, Koshi masalasining yechimi

funksiyadan iborat.
2-Misol. tenglama uchun qo’yilgan qo’yidagi

Koshi masalasining yechimi topilsin.
Yechish. (3) Puasson formulasiga ko’ra, berilgan tenglama va (4) shartdan foydalanib quyidagilarni topamiz.







3-Misol.






U(x,t)= ( +
Demak U(x,t)= sinx ekan.
4-Misol.


Yechish.
(dx-adt)(dx+adt)=0





U(x,t)=





U(x,t)=
5-Misol.

(1)
tenglama uchun quyidagi
, (2)
Koshi masalasining yechimini toping.
Berilgan tenglamani

almashtirish yordamida keltirish mumkin, uning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi.
Demak tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi.
+
va bundan (3) ni (2) ga qo’yamiz.
va aniqlash uchun ushbu ko’rinishga olib kelamiz va quyidagi

sistemani olamiz.

bundan quyidagicha yechimga kelamiz.


6-Misol.

Yechish.
(dx-3dt)(dx+3dt)=0



ni tenglamaga qo’ysak
)
36
( )+
( )+
x+