Toshkent axborot texnologiyalari universiteti huzuridagi dasturiy mahsulotlar va apparat dasturiy majmualar yaratish

Differensial tenglamalarni taqriban yechish usullari.

Birinchi tartibli differensial tenglamalarni taqriban yechish.

Ikkinchi tartibli differensial tenglamani sonli yechish.


Tayanch tushunchalar: Differensial, differensial tenglama, Koshi masalasi, Eyler usuli, Runge-Kutta usuli, qoldiq hadlar, algoritm, dastur

Adabiyotlar:

1. 
   
   Ю. Ю. Тарасевич. Математическое и компьютерное моделирование. Изд. 4-е, испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. 152 с.
   
2. 
   
   Б. П. Демидович, И. А. Марон. Основы вычислительной математики. Издательство «Наука» Москва 1986
   
3. 
   
   Е. В. Бошкиново и др. Численное методы и их реализация в MS Excel. Самара 2009
   
4. 
   
   Ю. В. Василков, Н. Н. Василкова. Компьютерные технологии вычилений в математическом моделировании. Изд. «Финансы и статистика» М.:2002
   
5. 
   
   А.С.Амридинов, А.И.Бабаяров, Б.Б.Бабажанов. «Ҳисоблаш математикаси» фанидан лаборатория ишларини бажариш бўйича услубий тавсиялар ва топшириқлар. Самарқанд: СамДУ нашри. 2008.
   

Differensial tenglamalarni aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.


Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.

Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini hisoblash usullaridir. Bu hollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.
Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi.

Bizga [a, b] oraliqda

y(a)  y₀
boshlang’ich sharti bilan berilgan

y^ 

f (x, y)
differensial tenglamani yechish talab etilgan bo’lsin. Differensial

tenglamaning yechimi deb differensiallanuvchi qo’yganda ayniyatga aylantiradigan ifoda aytiladi.

y  y(x)
funksiyani tenglamaga

Differensial tenglamani sonli yechimi taqribiy qiymat bo’lib u jadval

ko’rinishda ifodalandi.
Berilgan [a, b] oraliqni n teng bo’laklarga bo’lib,

x₀ , x₁, ..., x_n ;

x₀  a,

x_n  b
nuqtalardan hosil bo’lagan elementar kesmalarga ega

bo’lamiz. Integrallash qadami deb

h  (b  a) / n
kattalikka aytamiz. Bunda

x_i  a  i  h, x₀  a, x_n  b i  0, 1, ..., n .
Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.
Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.