Aim.uz
Trigonometrik tenglama va tengsizliklarni yechish.
Reja:
1. Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari
2. Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari
Noma’lum son faqat trigonometrik funksiyalaming argumenti sifatida qatnashgan tenglama (tengsizlik) trogonometrik tenglama (trigonometrik tengsizlik) deyiladi.
sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a ko’rinishdagi tenglamalar eng sodda trigonometrik tenglamalardir. Bu tenglamada tenglik belgisi bilan almashtirilsa, eng sodda trigonometrik tengsizliklar hosil bo’ladi.Umuman, cosx=a, bunda -1tenglama
00 bo’lsa, u holda ildiz [0; — ] oraliqda
T
joylashadi; agar a<0 bo’lsa ,u holda ildiz [—;t] oraliqda joylashadi. Bu ildiz a sonining
arcsinusi deb ataladi va arccosa kabi belgilanadi. Shunday qilib, a e [-1;1]
sonining arccosinusi deb, kosinusi a teng bo’lgan a e (0; t) songa aytiladi: arccosa=a, bunda cosa=a va 0cosx=a (bunda |a|<1) tenglamaning barcha ildizlari x = ±arccosa+2 Tn, neZ
formula bilan ifodalanadi. arccos(-a)=T-arccosa formula o’rinli.
1- misol. Sinx=0,5 tenglamani yeching. x=(-1)narcsina+Tn,ne z formulaga ko’ra quyidagiga egamiz: x=(-1)narcsin0,5+Tn,ne z
V2
2- misol. cos3x=— tenglamani yeching.
Yechish: x = ± arccosa+2 Tn, ne Z formuladan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:
3x= ±
arccos
42
v 2 y
„ _ , T 2th ^
+ 2th, n e Z. x= ±—I--; n e Z
4 3
Trigonometrik tenglamalarni yechishdan oldin uning aniqlanish sihasini topish kerak. So’ngra tenglamaning aniqlanish sohasida teng kuchli tenglamalar haqidagi teoremalardan va shakl almashtirishlardan foydalanib berilgan tenglamani bir yoki bir necha eng sodda trigonometrik tenglamalarga keltiriladi. Bu sodda tenglamalar yechilib, topilgan yechimlarning qaysi biri berilgan tenglamaning yechimi ekanligi aniqlanadi.
Aim.uz
Aim.uz
1. Kvadrat tenglamaga keltirib yechiladigan tenglamalar, ya’ni
a sin2 f (x) + b sin f (x) + c = 0 yoki
a cos2 f (x) + b sin f (x) + c = 0
4sin2x-3sinx-1=0 tenglamani yeching.
Bu tenglama sinx ga nisbatan kvadrat tenglama. sinx=y deb olib, 4y2-3y-1=0 tenglamani hosil qilamiz. Uning ildizlari y = -1; y2 = 1
sinx= -1 tenglama x = (-1)”+1 arcsin 1 + mn, n G Z
sinx =1 tenglama
n
x = —
2
+ 2nn, n g Z ildizlarga ega.
2. Ko’paytuvchilarga ajratish usuli. sin5x-cos3x=sinx tenglamani yeching
(sin5x-sinx)-cos3x=0
2 sin2xco s3x-co s3x=0
cos3x(2sin2x-1)=0
berilgan tenglama quyidagi ikkita tenglamaga ajraladi, ularni yechamiz :
1) cos3x
0 ^ 3x
n ,
—+ kn ^ x 2
2k +1 6
n, k g Z
2) sin 2x = — ^ 2x = (- 1)n — + m ^ x = (- 1)n — + , n g Z
2 6 12 2
3. To’ldiruvchi burchak kiritish usuli. V3 sin x + cos x = 1 tenglamani yeching.
Tenglamaning har ikkala qismini ikkiga bo’lamiz : -^sin x +1
1
cos x = — 2
Aim.uz
Aim.uz
Agar ^cos30°,1 = sin 300 ekanini e’tiborga olsak, berilgan tenglama sin(x + 300)= 1
ko’rinishni oladi. Bu tenglamani yechamiz x+300=(-l)n300+1800n, n=2k va n=2k+l desak, x=3600k va x=1200(3k+1) yechimlarni olamiz.
Ushbu sinx >a, cosx>a, tgx>a, ctgx>a, sinx < a, cosx
Tengsizlikning ko’rinishi
|
Tengsizlikning yechimlari to’plami
|
sinx>a
|
x e (arcsin a + 2nk; n — arcsin a + 2nk)
|
sinx |
x e (— n — arcsin a + 2nk;arcsin a = 2nk)
|
cosx.>a
|
x e(— arccos a + 2nk; arccos a + 2nk)
|
cosx |
x e (arccos a + 2nk;2n — arccos a + 2nk)
|
tg>a
|
x e ^arctga + nk;n + nkj
|
tg |
x e ^— n + nk; arctga + nkj
|
ctgx>a
|
x e (^k; arctga + nk)
|
ctgx |
x e (arctga + nk;n + n)
| | |
k = 0;±1;±2;±3;...
| |
