Trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik tenglamalar
Noma`lum son faqat trigonometri funksiyaning argumenti sifatida qatnashgan tenglama (tengsizlik) trigonometrik tenglama (trigonometrik tengsizlik) deyiladi. , , , ko`rinishdagi tenglamalar eng soda trigonometrik tenglamalar deyiladi. Bu tengla-malarda tenglik belgisi bilan almashtirilsa, eng sodda trigonometrik tengsizliklar hosil bo`ladi.
Odatta trigonometrik tenglamalarni (tengsizliklarni) yechish bitta yoki bir nechta eng sodda trigonometrik tenglamalarni (tengsizlillarni) yechishga keltiriladi.
sinα=m ko`rinishdagi eng soda tenglama.
tenglamani yechishbirlik aylanadagi shunday nuqtani topishdan iboratki, uning ordinatasi m gat eng bo`lishi kerak. Buning uchun gorizontal diametrga parallel bo`lgan y=m to`g`ri chiziq bilan birlik aylananing kesishish nuqtalarini:

1. 
   agar bo`lsa, y=m to`g`ri chiziq aylanani kesmay, undan yuqori yoki quyidan o`tadi . Demak, bu holda tenglama echimga ega emas;
   
2. 
   agar bo`lsa, to`g`ri chiziq aylanaga yo yuqoridagi nuq-tada yoki quyidagi nuqtada urilib o`tadi (16-rasm). Bu holda tenglama yagona ildizga ega: yoki . Agar funksiya asosiy davri ham e`tiborga olinsa, yechimni ko`rinishda yozish mumkin.
   
3. 
   bo`lsa, y=m to`g`ri chiziq aylanada va nuqtalarda kesadi. Demak, tenglamalarning yechimi shu nuqtalarning koordinatalari bo`lgan barcha sonlar to`plamlarining birlashmasi bo`ladi:
   

Yechimni ; ko`rinishda ham yozish mumkin. Yechimning geometrik tahlilida y=m to`g`ri chiziq bilan sinusoidaning kesishish nuqtasi haqida ham gapirish mumkin.
Misol. tenglamani yeching.
Yechish. to`g`ri chiziq koordinatali aylanani va nuqtalarda kesadi (15-rasm). B<sub>1</sub> nuqta barcha sonlar to`plamiga, B₂nuqta esa barcha ko`rinishdagi sonlar to`plamiga mos. Barcha yechimlar to`plamini
; yoki ko`rinishda yozish mumkin. oraliqqa tegishli bo`lgan yagona x<sub>0</sub> yechimga ega.
va ko`rinishdagi eng soda tenglamalar.
Koordinatali aylananing har bir nuqtasi Dekart koordinatalr sistemasidagi biror B(x;y) nuqta bilan ustma-ust tushushini va bilamiz. Shunga ko`ra noma`lum qatnashayotgan yoki tenglamaning barcha yechimlarini koordinatali aylana bilan , ya`ni y=mx to`g`ri chiziqning kesishish nuqtalari yordamida aniqlash mumkin. m ning har qanday qiymatida y=mx to`g`ri chiziq aylanani O(0;0) nuqtaga nisbatan simmetrik bo`lgan B₁ va B₂ nuqtalarda kesadi.
Ulardan biri o`ng yarim aylana o`tadi. Bu nuqta bo`lsin ikkinchi nuqta bo`ladi. Demak, tenglamaning barcha yechimlari to`plami va sonlar to`plamlari birlashmasidan iborat. Barcha yechimlar (1) formula bilan aniqlanadi.
1. sinx = a, |a| ≤ 1, yechim:
x = arcsina + πn;
2. sinx = 0, yechim: x = πn;
3. sinx = −1, yechim: x = − + 2πn;
4. sinx = 1, yechim: x = + 2πn;
5. cosx = a, |a| ≤ 1, yechim: x = ±arccosa + 2πn;
6. cosx = 0, yechim: x = + πn;
7. cosx = −1, yechim: x = π + 2πn;
8. cosx = 1, yechim: x = 2πn;
9. tgx = a, yechim: x = arctga + πn;
10. ctgx = a, yechim: x = arcctga + πn;
Mustaqil yechish uchun testlar
1) 2sinx = −1
A) − + 2πk, k ∈ Z
B) − + πk, k ∈ Z
C) + πk, k ∈ Z
D) ± + 2πk, k ∈ Z
E) + πk, k ∈ Z
2) Cos(2x − )= 0
A) n, n ∈ Z
B)
C) πn, n ∈ Z
D) + n, n ∈ Z
E) n, n ∈ Z
3) ctg( (x − 1))= 0tenglamaning (1; 5) oraliqda nechta ildizi bor?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5