Trigonometrische Funktionen


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#23163

6.4

Trigonometrische Funktionen

6.4.1

Im rechtwinkligen Dreieck



erkl¨art man:































































Gegenkathete

Ankathete

Hypotenuse

Sinus:


sin α =

Gegenkathete

Hypotenuse

Cosinus (oder Kosinus):

cos α =

Ankathete



Hypotenuse

Tangens:


tan α =

Gegenkathete

Ankathete

=

sin α



cos α

Cotangens (oder Kotangens):

cot α =

Ankathete



Gegenkathete

=

cos α



sin α

1


6.4.2

Am Einheitskreis

erkl¨art man:

sin x, cos x, tan x, cot x als Streckenl¨angen und

das Bogenmaß x eines Winkels als L¨ange des von

dem Zentriwinkel aus dem Kreis ausgeschnittenen

Bogenst¨

ucks.


Außerhalb der Elementargeometrie verwen-

det man als Argument von sin, cos, tan, cot

stets das Bogenmaß!

6.4.3


Funktionsgraphen von sin, cos, tan, cot

Mit Hilfe einer (bei Handzeichnung: n¨aherungswei-

sen) Abwicklung des Einheitskreises auf die x-Achse

lassen sich einzelne Punkte des Graphen von sin und

von cos zeichnen.

Gute N¨aherungen der Graphen erh¨alt man durch

Verbinden der Punkte unter Beachtung bekannter

Eigenschaften der Graphen.

Mit Hilfe der Asymptoten und einzelner Punkte las-

sen sich die Graphen von tan und cot n¨aherungswei-

se zeichnen.

2


6.4.4

Eigenschaften

1. sin u. cos sind 2π-periodisch:

sin(x + 2kπ) = sin x

∀k ∈ Z, ∀x ∈ R.

cos(x + 2kπ) = cos x

∀k ∈ Z, ∀x ∈ R.

2. tan x ist nicht definiert f¨

ur x =

π

2



+ kπ ∀k ∈ Z.

cot x ist nicht definiert f¨

ur x = kπ ∀k ∈ Z.

3. −1 ≤ sin x ≤ 1

−1 ≤ cos x ≤ 1

−∞ < tan x < ∞

−∞ < cot x < ∞

4. sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x

5. sin(x + π) = − sin x, cos(x + π) = − cos x

3


6. sin(x +

π

2



) = cos x, cos(x +

π

2



) = − sin x

7. Additionstheoreme: ∀x ∈ R, ∀y ∈ R:

sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

cos(x + y) = cos x cos y − sin x siny

8. cos

2

x + sin



2

x = 1 ∀x ∈ R.

6.4.5

Umkehrungen



Auf dem Intervall [-

π

2



,

π

2



] besitzt sin eine Umkehr-

funktion, den arcsin (Arkussinus), definiert auf [−1, 1].

Auf dem Intervall [0, π] besitzt cos eine Umkehr-

funktion, den arccos (Arkuscosinus oder Arkuskosi-

nus), definiert auf [-1,1].

Auf dem Intervall ] −

π

2

,



π

2

[ besitzt tan eine Umkehr-



funktion, den arctan (Arkustangens), definiert auf

R.

Auf dem Intervall ]0, π[ besitzt cot eine Umkehr-



funktion, den arccot (Arkuscotangens), definiert auf

R.

4



6.4.6

Steigung eines Weges

Steigung p % bedeutet: Auf 100 m Horizontalab-

stand ist die H¨ohendifferenz p m. (Tafelskizze!)

Steigungswinkel α: tan α =

p

100



α = arctan



p

100


.

5

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