Tushunchasiga keltiriladigan

1-Misol. 𝑓⁽𝑥, 𝑦⁾ = 𝑥²𝑦³ funksiyaning 𝐷 = ^{(𝑥, 𝑦⁾ ∈ 𝑹²: 𝑥 ∈ ^[0,1^], 𝑥² ≤
𝑦 ≤ 1^} soha bo‘yicha ikki olchovli integralini hisoblaymiz.

• 
  Integrallash sohasi 𝑂𝑦 o‘q yo‘nalishi bo‘yicha to‘g‘ri soha va 𝑦₁⁽𝑥⁾ = 𝑥² va
  

𝑦₂⁽𝑥⁾ ≡ 1 (6-rasm). (7) formulaga ko‘ra ikki o‘lchovli integralni hisoblaymiz:
1 1 1 ₁ ¹

∬ 𝑥²𝑦³𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑥²𝑦³𝑑𝑦 = ∫ 𝑥²𝑦⁴|
𝑑𝑥 =

𝐷 0
_𝑥2
₁ 1
₀ 4 _𝑥²
1


_𝑥3
_𝑥11 ¹


1 1 1 2

= ∫ ⁽𝑥² − 𝑥¹⁰⁾ =
4 ₀
4 ⁽ 3
− ₁₁ )|
= ₄ (₃
− ) = . ◄
11 33

0
Uch o‘lchovli integral. Ikki o‘lchovli integralni umumlashtirish orqali hosil qilinadigan uch o‘zgaruvchili funksiyaning uch o‘lchovli integralini qarab chiqamiz. Bunday integrallar ikki o‘lchovli integrallar singari turli geometrik, fizik va texnik

masalalrni yechishda tadbiq qilinadi. Ikki va uch o‘lchovli integrallar orasida to‘liq o‘xshashlik mavjudligi tufayli biz faqat tasdiqlarni bayon qilish bilan chegaralanamiz. Ularning isbotini ikki o‘lchovli integrallardagi isbotlarni uch o‘zgaruvchili funksiyalarga osongina moslashtirish orqali hosil qilish mumkin.
Jismning massasini hisoblash haqida masala. Fazoviy Ω sohani massa bilam to‘ldirilgan jism berilgan bo‘lsin. Agar har bir 𝑃 ∈ Ω nuqtada
𝜇 = 𝜇⁽𝑃⁾ = 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧), 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝛺
massa taqsimlanishining zichligi berilgan bo‘lsa, bu jismning 𝑚 massasini topish talab qilingan bo‘lsin.
Ω sohani qandaydir sirtlar bilan hajmlari ∆𝑉₁, ∆𝑉₂,…, ∆𝑉_𝑛 bo‘lgan 𝑛 ta ΔΩ₁, ΔΩ₂, …, ΔΩ_𝑛 qismlarga ajratamiz. Har bir ΔΩ_𝑖 sohada ixtiyoriy ravishda bittadan
𝑃_𝑖(𝑥_𝑖 , 𝑦_𝑖 , 𝑧_𝑖) nuqtani tanlaymiz. ΔΩ_𝑖 sohada zichlik taqriban o‘zgarmas va u 𝜇(𝑃_𝑖)
ga teng deb faraz qilamiz. U holda bu bo‘lakning massasini
∆𝑚_𝑖 ≈ 𝜇(𝑃_𝑖)∆𝑉_𝑖
taqribiy tenglik bilan aniqlash mumkin, butun jismning massasi esa taqriban
𝑘
𝑚 ≈ ∑ 𝜇(𝑃_𝑖 )∆𝑉_𝑖 (9)
𝑖=1
yig‘indiga teng bo‘ladi.
ΔΩ_𝑖 bo‘laklarning o‘lchamlari qanchalik kichik bo‘lsa, (9) taqribiy tenglik shunchalik aniqroq bo‘ladi. Qaralayotgan jismning massasi sifatida (9) tenglik o‘ng tomonidagi yig‘indining ΔΩ_𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑛) bo‘laklar diametrlarining eng kattasi 𝑑 nolga intilgandagi limitini olish mumkin:

𝑚 = lim
𝑛
∑ 𝜇(𝑃_𝑖 )∆𝑉_𝑖 . (10)

𝑑→0_𝑘=1
Fazoda 𝑆 sirt bilan chegaralangan Ω soha berilgan va bu soha va uning 𝑆
chegarasida uzluksiz 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiya aniqlangan bo‘lsin.
Ω sohani qandaydir sirtlar bilan hajmlari ∆𝑉₁, ∆𝑉₂,…, ∆𝑉_𝑛 bo‘lgan 𝑛 ta ΔΩ₁, ΔΩ₂, …, ΔΩ_𝑛 qismlarga ajratamiz. Bu bo‘laklar diametrlarini 𝑑_𝑖 orqali va ularning eng kattasini 𝑑 orqali belgilaymiz. Har bir ΔΩ_𝑖 sohada ixtiyoriy ravishda bittadan
𝑃_𝑖(𝑥_𝑖 , 𝑦_𝑖 , 𝑧_𝑖) nuqtani tanlaymiz va 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning bu nuqtalardagi
𝑓(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖 , 𝑧_𝑖) qiymatlarini hisoblab:
𝑛
∑ (𝑥_𝑖, 𝑦 , 𝑧_𝑖)∆𝑉_𝑖 (11)
𝑖=1
yig‘indini tuzamiz. Bu yig‘indi (𝑥, 𝑦, 𝑧) funksiyaning Ω soha bo‘yicha integral
yig‘indisi deb ataladi.