Учебно-методическое пособие для студентов Москва 2010 Пособие написано на основе курса лекций и практических занятий, прово
Download 0.59 Mb. Pdf ko'rish
|
Vectors AG
|
A (2;3),
B (-1;5),
C (2;-3).
а)
Найти площадь
треугольника
АВС
( рис . 38). Решение.
Площадь
треугольника
× = 2 1
( см
п . 6,
с .14).
Операция
векторного произведения
определена для
пространства . Перейдем
от
плоского
случая к
пространству , приписав тре
- тью
нулевую
координату
к
координатам
точек : A (2;3;0),
B (-1;5;0), C (2;-3;0). Произведем
необходимые вычисления : }
; 2 ; 3 { } 0 0 ; 3 5 ; 2 1 { − = − − − − = AB ,
}. 0 ; 6 ; 0 { } 0 0 ; 3 3 ; 2 2 { − = − − − − = AC
j i k j i AC AB 18 0 0 0 6 0 0 2 3 + + = − − = × ; . 9 2 18 2 18 0 0 2 1 2 2 2 = = + + = × =
AB S
б) Найти
длину
высоты
|AH| ( рис
. 38). Решение.
2 ; 2 1 = ⇒ ⋅ = . Площадь
вычислена
в
п . а. Вы -
|BC| и
найдем |AH|: 73 8
}, 8 ; 3 { 2 2 = + = − = BC BC , . 73 18 73 9 2 = ⋅ =
в) Найти
длину
медианы
|BM| ( рис . 38).
Решение: Точка
M
делит отрезок
AC пополам
, используя
формулы
для
координат
середины
отрезка
( см . п . 1,
с . 8)
найдем
координаты M и
вычислим
|BM|: 2 2 2 2 2 = + = + = C A M x x x , 0 2 3 3 2 = − = + = C A M y y y .
}; 5 ; 3 { − = BM
34 5 3 2 2 = + = BM . г) Найти
величину
угла
АВС
( рис
. 38). А
О
Рис . 38 Н
М
РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
52 Решение. sin(АВС)
2 1 ⋅ ⋅ ⋅ = ∆ BC AB ABC S ; } 0 ; 2 ; 3 { − =
(см. п.а); 13 4 9 = + = ⇒ AB ; 73
BC (см. п.б); S=9 (см. п.а); 584 ,
13 73 9 2 2 sin(ABC) ≈ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⇒
AB S . д) Найти уравнение высоты AH: AH AH b x k y + = (рис. 38). Решение. 1. Найдем уравнение прямой ВС
BC BC b x k y + = (см. уравнение прямой, про- ходящей через две точки, п.8, с. 18): b b c b c b x x y y x x y y − − = − − ; 1 5 2 1 3 5
x y + − = + − − ; 3 7 3 8 + − =
y . 2. Так как AH BC ⊥
то (признак перпендикулярности прямых, п.8, с. 20) ⇒ − = ⋅ ; 1 BC AH k k
. 8 3 = AH k
3. Уравнение искомой прямой AH b x y + = 8 3 . Коэффициент AH b найдем из усло- вия, что прямая проходит через точку А (2;3): 4 9 ; 2 8 3 3 = ⇒ + ⋅ = AH AH b b . Уравнение AH: 4 9 8 3 + = x y . е) Найти уравнение медианы ВМ
Решение. Координаты точки
М (2;0) определены в п. в. Имея координаты точек B(-1;5) и М (2;0), запишем уравнение прямой, проходящей через эти точ- ки: ;
b m b m b x x y y x x y y − − = ⇒ − − 1 5 5 10 ; 2 1 0 5 3 3
y y x + − = ⇒ = −
+ + − . ж) Найти проекцию вектора АВ
АС .
Координаты векторов } 2 ; 3 { − =
и }
; 0 { − =
найдены в п.а. Проекция вычисляется по формуле (см. п.2, с. 11) ( )
) . 2 6 0 6 2 0 3 Пр 2 2 − = − + − + ⋅ − = ⋅ =
AC AB AB AC з) Найти работу силы ВС
А
в точку
С . РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
53 Решение. Вектор перемещения } 6
0 { − = AC , вектор силы } 8
3 { − = BC .
Работа А равна скалярному произведению вектора силы ВС на вектор переме- щения АС
( ) ( ) 48 6 8 0 3 = − ⋅ − + ⋅ = ⋅ = AC BC А
и) Найти момент силы АС , приложенной в точке В , относительно точки А .
Момент силы M вычисляется по формуле (см. п.3, с.14) ⇒ × = ;
AB M k k k j i M 18 6 0 2 3 0 6 0 0 2 3 = ⋅ − − = − − = . к) Найти направляющие косинусы вектора ВС
Решение. Направляющие косинусы вектора } 8 ; 3 { − =
вычисляются по формулам (см. п.1, с. 9): 2 2
3 cos
73 3 8 x α =
= = + BC BC , 8 cos 73
− β =
= BC BC . л) Найти уравнение прямой, проходящей через точку В
мой АС
Решение. В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор } 6
0 { − = AC , тогда искомое уравнение запишется в виде (см. каноническое уравнение прямой п.8, с. 17) 1 6 5 0 1 − = ⇒ − − = + ⇒ − = −
y x y y x x y b x b AC AC . м) Найти координаты точки пересечения медиан в треугольнике АВС
(рис. 38). Решение. Точка пересечения медиан О
от вершины. Рассмотрим медиану ВМ : B(-1;5), М (2;0). Найдем координаты точки О
) 3 / 5 ; 1 ( ; 3 5 2 1 0 2 5 ; 1 2 1 2 2 1 O ⇒ = + ⋅ + = = + ⋅ + − = o o y x . Задание № 2. Даны декартовы координаты четырёх точек А (1;2;3), B(-2;3;1), C(1;4-3), P(4;2;1). а) Найти площадь треугольника ABC. Решается аналогично задаче 1(а). Ответ: 91 . РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
54 б) Найти длину высоты AH, проведенной из вершины A в треугольнике ABC. Решается аналогично задаче 1(б). Ответ: 13 182
. в) Найти длину медианы ВМ, проведенной из вершины В в треугольнике АВС. Решается аналогично задаче 1(в). Ответ: 10 . г) Найти величину угла АВС .
координаты векторов ВА и ВС , образующих иско- мый угол: } 2 ; 1 ; 3 { } 1 3 ; 3 2 ; 2 1 { − = − − + = BA ; } 4 ; 1 ; 3 { } 1 3 ; 3 4 ; 2 1 { − = − − − + =
. Ве- личину угла найдем, используя скалярное произведение (см. п.2, с. 11): ( ) ( ) 0 4 1 3 2 1 3 4 2 1 1 3 3 cos(ABC)
2 2 2 2 2 2 = + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ − + ⋅ = ⋅ ⋅ = BC BA BC BA . Следовательно, угол АВС прямой, треугольник прямоугольный. д) Найти уравнение медианы ВМ
АВС
.
Решается аналогично задаче 1(е). Ответ: 1 1 0 3 3 2 − = − = − + z y x . е) Найти проекцию вектора АВ на вектор АС . Решается аналогично задаче 1(ж). Ответ: 7 / 20 .
ж) Найти работу силы ВС при перемещении из точки А в точку С .
з) Найти момент силы АС , приложенной в точке В , относительно точки P. Решается аналогично задаче 1(и). Ответ: } 12 ; 36 ; 6 { − − =
. и) Найти направляющие косинусы вектора ВС
Решается аналогично задаче 1(к). Ответ: 26 3
= α ; 26 1 cos = β ; . 26 4 cos − = γ
к) Найти уравнение прямой, проходящей через точку В
мой АС
Решается аналогично задаче 1(л). РАСЧЕТНО - ГРАФИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
55 Ответ: 6 1 2 3 0 2 − − = − = + z y x . л) Найти объем тетраэдра ABCP (рис. 39). Решение. Найдем в тетраэдре три век- тора, выходящих из вершины А : AB={-3;1;-2}, AC={0;2-6}, AP={3;0;-2}. Объем тетраэдра равен (см. п.7, с. 16) AP AC AB × ⋅ = 6 1 T V . . 6 0 0 12 18 0 12 2 0 3 6 2 0 2 1 3 = + + + − + = − − − − = × ⋅ AP AC AB
1 6 6 1 6 1 = ⋅ = × ⋅ = ⇒ AP AC AB T V . м) Найти длину высоты PK, проведенной из вершины P, в тетраэдре ABCP (рис. 39). Решение.
⇒
= ⋅ = ; 3 1 3 1
осн
T S V 3 = PK . 1 = T V , 91 =
S
(определены соответственно в пунктах л и а). Следовательно, 91 3 91 1 3 = ⋅ =
. н) Найти уравнение плоскости АВС
. Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки А
В
С
ет вид (см.п.9, с. 25) 0 = − − − − − − − − − a c a c a c a b a b a b a a a z z y y x x z z y y x x z z y y x x ;
⇒ = − − − − − − − − − − − ⇒ ; 0 3 3 2 4 1 1 3 1 2 3 1 2 3 2 1 z y x
0 6 2 0 2 1 3 3 2 1 = − − − − − − z y x .
α
β Download 0.59 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|